Автор Тема: Помогите пожалуйста решить еще одну задачу  (Прочитано 1430 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Makar

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля

Раскрашенная плоскость

Плоскость раскрашена в два цвета. Всегда ли можно нарисовать на ней равносторонний треугольник со стороной в пределах от 1 до 4 , чтобы все вершины были одного цвета? :wall:

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Да, всегда.

Оффлайн Makar

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
А как доказать?

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Рассмотрим на плоскости произвольный равносторонний треугольник ABC со стороной 3. Если все три вершины одинакового цвета, то все ок. В противном случае есть сторона, у которой две вершины разного цвета. Пусть это будет сторона AB. Обозначим середину стороны AB через O. Цвет точки O совпадает с цветом одной из вершин, пусть это будет A. Построим еще два отрезка OM и ON длины 1.5, которые составляют угол 60 градусов с OA. Если цвет точки M или N совпадает с A, то у нас получается равносторонний треугольник одного цвета AOM или AON соответственно (длина его стороны 1.5). Если же цвет обеих точек M и N отличается от A, то он с необходимостью совпадает с B и у нас получается одноцветный равносторонний треугольник MNB. Длину его стороны можете, если хотите, посчитать сами, но очевидно, что она лежит между 1.5 и 3, т.е. и между 1 и 4. ч.т.д.

PS. В следующий раз постарайтесь, пожалуйста, давать своим темам более содержательное название, чем просто "помогите". Скажем, "треугольник с одноцветными вершинами на двуцветной плоскости".
« Последнее редактирование: 16 Август 2012, 14:13:06 от devnull »

Оффлайн Makar

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 9
    • Просмотр профиля
Cпасибо огромное!