Автор Тема: Задача по механике  (Прочитано 10191 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Задача по механике
« : 14 Июль 2012, 13:28:21 »
Найти минимальную скорость объёкта и угол от оси ОХ такие, чтобы тело прошло через точку, отдалённую на 6000 м от начала пути под углом 30% к оси ОХ(движение по параболе).

Решение, которое нам показывали, утеряно. Решая сам, прихожу к слишком сложному уравнению, видимо, есть способ более рациональный, чем просто записать путь до этой точки по оси ОХ и ОУ, вывести скорость и найти абсолютную величину вектора скорости.

Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по механике
« Ответ #1 : 15 Июль 2012, 01:44:37 »
Удаленная на 6000 м куда? Имеется в виду на том же уравне, что и точка старта (координата y така же)?

Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по механике
« Ответ #2 : 15 Июль 2012, 02:12:21 »
Если в начальной и конечной точке движения координаты y совпадают, то, учитывая симметричность параболы, заключаем, что угол между вектором скорости и осью OX при старте так же составляет 30град.
Горизонтальная составляющая вектора скорости по модулю равна V*cos(30o). Именно это и "относит" тело в сторону на 6000 м.
V*cos(30o)*t=6000
t=6000/(V*cos(30o))
С другой стороны, за то же время тело должно подлететь вверх и вернуться на тот же уровень (вектор ускорения направлен в противоположную сторону по отношению к вертикальной составляющей вектора ускорения)
V*sin(30o)*t-g*t2/2=0
t>0, делим все выражение на t:
2*V*sin(30o)-g*t=0

подставляем выражение для t (g, для простоты берем равным 10м/с2):
2*V*sin(30)- 60000/(V*cos(30))=0
V2* (2*sin(30)*cos(30))=60000
V2*sin(60)=60000
V=263.22 (приблизительно) м/с

По-моему так...
« Последнее редактирование: 15 Июль 2012, 02:15:27 от ira-sm »

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #3 : 15 Июль 2012, 14:40:09 »
Извиняюсь, некорректно написал. Там недаром нужно найти ещё и угол. Дело обстоит как на картинке: d=6000, фи=π/6, найти альфа и v(0). На картинке только один из вариантов - когда точка находится во второй половине пути, может и в первой(хотя по решению так не выйдет, потому что по условию скорость должна быть минимальной)
« Последнее редактирование: 15 Июль 2012, 14:42:38 от Dukazkraft »

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #4 : 15 Июль 2012, 15:07:34 »
Любопытно, что задачка взята из учебника физики на чешском языке. Не могли бы вы, пожалуйста, написать название и автора задачника - для меня это представляет профессиональный интерес, так как на одном из мест работы я преподаю физику в одном из чешских вузов.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #5 : 15 Июль 2012, 15:10:14 »
Скрипиты для факультета ядерной физики ЧВУТ, механика, doc. ing. Ivan Štoll, CSc
« Последнее редактирование: 15 Июль 2012, 15:15:46 от Dukazkraft »

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #6 : 15 Июль 2012, 15:16:26 »
Большое спасибо.

Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #7 : 15 Июль 2012, 23:16:32 »
Так что же, поможет кто-нибудь решить согласно условию, предложенному на рисунке?

Оффлайн лучник

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 461
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #8 : 16 Июль 2012, 13:36:16 »
Нам фактически дано расстояние по горизонту до конечной точки траектории и ее высота.
Таким образом, задача аналогична следующей:

При какой минимальной начальной скорости камня им можно попасть в верхнюю точку стены?



Нагуглил такое решение для общего случая:

 Пусть, бросая камень с некоторой скоростью v, можно попасть в верхнюю точку стены. Запишем условие этого, предполагая, что для попадания камень нужно бросать под некоторым углом α к горизонту. Выберем систему координат такую, что начало координат совпадает с точкой бросания, ось абсцисс направлена горизонтально - к стенке, а ось ординат направлена вверх (рис. 5). Тогда траектория, по которой полетит камень, в этой системе координат задается уравнением:


y = x tg α - gx2 ( 1 + tg2 α ) / 2v2

Его можно получить, используя уравнения движения камня в этой системе координат:

(1)  x(t) = vt cos α
(2)  y(t) = vt sin α - gt2 / 2

где t - время, отсчитываемое от броска. Просто нужно выразить t из уравнения (1) и подставить в уравнение (2). Тогда условие того, что камень попал в верхнюю точку стены запишется следующим образом:

(3)  h = s tg α - gs2 ( 1 + tg2 α ) / 2v2

Рассмотрим полученное равентво (3), как уравнение относительно tg α:

(4)  gs2 tg2 α / 2v2 - s tg α + ( gs2 / 2v2 + h ) = 0

Т.е. будем считать, что нам заданы величины v, h и s и требуется найти угол α, под которым надо кидать камень, чтобы попасть в верхнюю точку стены. Уравнение (4) - квадратное и имеет решение, только если его дискриминант неотрицателен. Значит при заданных v, h и s можно перекинуть стену (т.е. найдется необходимый для этого угол α), только если выполняется условие:

(5)  s2 - 4gs2 ( gs2 / 2v2 + h ) / 2v2 ≥ 0

Преобразуя полученное неравенство (5), получаем:

(6)  v4 - 2ghv2 - g2s2 ≥ 0

Разложим на множители левую часть неравенства (6), рассматривая его левую часть, как квадратный трехчлен относительно v2:

(7)  ( v2 - gh - ( g2h2 + g2s2 )½ ) ( v2 - gh + ( g2h2 + g2s2 )½ ) ≥ 0

Поскольку v2 - gh + ( g2h2 + g2s2 )½ > 0, то неравенство (7) равносильно:

v2 - gh - ( g2h2 + g2s2 )½ ≥ 0, т.е. v ≥ ( gh + g ( h2 + s2 )½ )½

Ответ: vmin = ( gh + g ( h2 + s2 )½ )½.
Зная скорость, можно найти высоту подъема и затем начальный угол
« Последнее редактирование: 16 Июль 2012, 13:44:17 от лучник »

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по механике
« Ответ #9 : 16 Июль 2012, 14:20:12 »
 :-[Криволинейной движение:
http://exir.ru/termeh/yablonskij/dinamika_materialnoj_tochki.htm
http://exir.ru/termeh/dvizhenie_materialnoy_tochki.htm
http://exir.ru/termeh/mesherskij/dinamika_materialnoj_tochki.htm
http://exir.ru/other/chertov/glava1.htm
http://exir.ru/1/info.htm
http://exir.ru/other/savelev/1.htm

У Савельева: 1.34. Под каким углом α к горизонту нужно установить ствол орудия, чтобы поразить цель, находящуюся на расстоянии l=10,0 км, если начальная скорость снаряда...

У Чертова: 1.44. Тело брошено под некоторым углом α к горизонту. Найти этот угол, если горизонтальная дальность s полета тела в четыре раза больше максимальной высоты..

У Иродова: 1.29. Тело бросили с поверхности Земли под углом α к горизонту с начальной скоростью v0. Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти: а) время...

Смотрите выше ссылки: Теоретическая механика:
Движение материальной точки

Смотрите также решения задач по теме «Динамика материальной точки» в онлайн решебниках Яблонского, Мещерского, Чертова (с примерами и методичкой для заочников), Иродова и Савельева (те же ссылки)

Больше ничего подходящего не нашёл. Маловато конечно без привычки.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #10 : 16 Июль 2012, 14:33:33 »
У меня несколько иной подход к решению этой задачи, использующий тригонометрию и тот факт, что нам сразу известен угол фи=30.

Уравнение y = x tg a - gx2/(2v2 cos2 a) остается в силе. Но далее мы сразу выражаем из него скорость v:

(1)     v2 = gx2/(2 cos a * (x sin a - y cos a)).

Чтобы v была минимальна, знаменатель дроби вправо должен быть максимален:

cos a * (x sin a - y cos a)  =  max

В этот момент учитываем, что x = d * cos фи, y = d * sin фи,  поэтому

cos a * (cos фи * sin a - sin фи * cos a) = max

Ну а дальше тригонометрия:

cos a * (cos фи * sin a - sin фи * cos a) = max
cos a * sin(a - фи) = max
sin(a - фи - a) + sin(a - фи + a) = max
-sin(фи) + sin(2a - фи) = max

Следовательно, 2a - фи = 90, a = (90 + 30)/2 = 60 и остается подставить этот угол в (1) для нахождения скорости.

« Последнее редактирование: 16 Июль 2012, 14:54:31 от devnull »

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по механике
« Ответ #11 : 16 Июль 2012, 16:07:11 »
 :-[Мне понравилось решение приведено ниже своей красотой и оригинальностью.
6. Купол имеет форму полусферы радиуса R, опирающейся на землю (рис. 3). При какой минимальной начальной скорости брошенный с земли камень может перелететь через купол, лишь коснувшись его вершины?
  рис. 3
Задача отсюда: http://stalex.exponenta.ru/phisics/mechanics/curv_motion.htm

Решение:
6. Для начала условимся, что купол мы будем считать полностью проницаемым для всех тел. Это, разумеется, никак не скажется на ответе задачи, но значительно упростит рассуждения.

Заметим, что камень коснется вершины полусферы, если его скорость в момент попадания в эту точку будет горизонтальна (иначе камень врежется в купол). Значит, вершина полусферы должна являться высшей точкой его траектории. Пусть камень был брошен со скоростью v под углом α к горизонту. Время его подъема до максимальной высоты:

t = v sin α / g

Поэтому, максимальная высота подъема камня:

H = vt sin α - gt2 / 2 = v2sin2 α / 2g

Камень коснется вершины полусферы, если H = R, т.е. когда:

(1)  R = v2sin2 α / 2g

Заметим, что мы до сих пор нигде не использовали тот факт, что бросающий находится вне купола. Ведь важно, что камень должен пролететь над полусферой, и коснуться ее вершины снаружи. Пусть высшая точка траектории камня совпала с вершиной полусферы. Найдем условие, при котором камень не будет проваливаться внутрь купола после прохождения его вершины.

рис. 10 

Рассмотрим такое условие: радиус кривизны траектории камня в высшей точке должен быть не меньше R. Это свойство траектории является необходимым для описанного выше полета камня. Встает вопрос о его достаточности: не загнется ли траектория внутрь купола после удаления камня от вершины, т.е. не произойдет где-нибудь вдали от нее уменьшения радиуса кривизны? Легко видеть, что нет, поскольку любая парабола в вершине имеет наименьший радиус кривизны. Покажем это. Рассмотрим камень, брошенный под углом к горизонту. Пусть горизонтальная составляющая его скорости равна u, а вектор его полной скорости в некоторый момент времени составляет с горизонтом угол β (рис. 10). В этот момент скорость камня u / cos β, а нормальное ускорение g cos β. Видно, что радиус кривизны траектории в точке, где находится камень в рассматриваемый момент времени, обратно пропорционален кубу cos β. Значит радиус кривизны будет минимальным когда cos β = 1, т.е. β = 0, что происходит в высшей точке траектории.

Итак, мы нашли необходимое и достаточное условие того, чтобы камень, коснувшийся полусферы в ее вершине, пролетел над ней: радиус кривизны его траектории в высшей точке должен быть не меньше R. Скорость камня в этой точке v cos α, а нормальное ускорение g. Поэтому получаем:

(2)  v2cos2 α / g ≥ R

Подставляя sin2 α из соотношения (1) в неравенство (2), получаем:

v2 / g ≥ 3R, откуда v ≥ ( 3gR )½

Значит минимальная начальная скорость камня для того, чтобы он перелетел через купол описанным в условии способом:

vmin = ( 3gR )½

Ответ: vmin = ( 3gR )½.


Оффлайн Dukazkraft

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 74
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #12 : 16 Июль 2012, 19:22:05 »
Всем спасибо за помощь.
Понравилось решение через тригонометрию, элегантное и простое.

ALEXIN, такое решение тоже не лишено красоты.

Сейчас попробую вывести решение из уравнения параболы, может что-то выйдет.
« Последнее редактирование: 16 Июль 2012, 19:26:25 от Dukazkraft »

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача по механике
« Ответ #13 : 17 Июль 2012, 02:11:44 »
 :-[Решение:
Решаю по аналогии с задачей №6 (про купол).
Нахожу  H=R= L*sin 30 =6000*0.5=3000 м.
Начальная скорость минимальная: Vmin=(3*g*R)^(1/2) =
= (3*10*3000)^(1/2)= 300 м/сек.
Использую формулу (см.задачу №6): R=H = v^(2)*sin^(2) α / 2g
Эту формулу см. вложение «Чертов задача 1.44»
Откуда выводим расчёт: sin a=[(H*2g)/v^2]^(1/2)=
=[(3000*2*10)/300^2]^(1/2)=(2/3)^(1/2)=0.8124
По таблице Брадиса: http://uchim.org/matematika/tablica-bradisa
Искомый угол равен :54 градуса 18 минут

P.S.  Я  всё забыл чему меня учили , так как в реальной жизни эти знания
были обузой (чемоданом без ручки). Мне интересно Ваше мнение о таком
способе решения. Укажите , прошу Вас , на ошибки.

Оффлайн devnull

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 745
    • Просмотр профиля
Re: Задача по механике
« Ответ #14 : 17 Июль 2012, 02:23:46 »
Укажите , прошу Вас , на ошибки.
Вы просто решили другую задачу - о минимальной скорости, необходимой для облета купола высотой 3 км. К исходной задаче она, в общем-то, не имеет никакого отношения кроме того, что в обоих случаях рассматривается движение в поле силы тяжести.