Задача «теория множеств»

[Marsic]

Формулируется задача так:

Все знают что-то о теории множеств. Решите одну из ее самых простых задач: чему равно множество "альфа" плюс множество "не альфа"?

Ответ такой:

Всей Вселенной, ибо все, что угодно, или входит в "альфа", или не входит, то есть входит в "не альфа".

Однако ни условие, ни ответ не корректны с точки зрения теории множеств.
Дело в том, что нет такого понятия «вся Вселенная» и нет такой опереции как «не», которая бы любому одному множеству сопоставляла множество всего, что в него не входит.

Аналогичная, но корректная задача звучала бы так:
Дано множество U, которое мы назовём универсальным (всей Вселенной, если хотите) и его подмножество — ? (альфа). Чему равно ? в объединении с U\?? («\» — операция разности).
И ответ: U.

[Marsic]

Первые попытки разработки теории множеств привели к так называемой интуитивной теории множеств, в которой подразумивалось, что всё есть множества и не-множеств нет. В частности там как раз считалось очевидным, что существует и множество всех множеств, то есть множество «вся Вселенная». Однако при более строгом аксиоматическом подходе обнаружилось, что множество всех множеств не может быть множеством.
В списке задач на этом сайте можно было бы поместить задачу: «Как доказать, что множества всех множеств нет?» Это действительно интересная задача, и до ответа можно додуматься самому.

[ptil]

Освежив свои знания по теории множеств , соглашусь, что условие задачи не корректно с формальной точки зрения.

И вот тут в очередной раз сталкиваюсь с проблемой выбора между корректностью задачи и ее «интересности». Дело в том, что предложенный Вами корректный вариант к занимательным задачам, мягко говоря, слабо относится В отличии от первоначального, интуитивно понятного для большинства.
Чтобы не "убивать" задачу, условие оставлю прежним, а в примечании к ответу напишу Ваш вариант с пояснениями.

В списке задач на этом сайте можно было бы поместить задачу: «Как доказать, что множества всех множеств нет?» Это действительно интересная задача, и до ответа можно додуматься самому.

Если Вы имеете в виду парадокс Кантора, то простым для нематематика он ну никак не является. По крайней мере, тот вариант, что я нашел на Википедии:http://ru.wikipedia.org/wiki/Парадокс_Кантора

[Marsic]

Есть более простое доказательство:
Предположим, что множество всех множеств U существует. Тогда из него можно брать подмножества. Например пусть А — множество всех множеств из U, не содержащих себя.
Любое конкретное множество либо содержит какой-то конкретный элемент, либо не содержит; третьего не дано. Однако если задаться вопросм, содержит ли А себя, то оба варианта приведут к противоречию. Таким образом самое первое предположение неверно.

[Marsic]

Кстати, трюк, использованный в доказательстве — это то же самое, что и парадокс брадобрея, упоминаемый на этом сайте: http://www.smekalka.pp.ru/trick/answer_trick_01.html

[ptil]

Есть более простое доказательство:
Предположим, что множество всех множеств U существует...

Да, гораздо более простое доказательство. В ближайшее время добавлю эту задачу на сайт.

[Marsic]

Вообще-то тому, кто будет решать, довольно сложно додуматься рассмотреть именно такое подмножество. Поэтому, мне кажется стоит сделать подсказку. Например написать так:
«Некоторые математики в прошлом полагали, что существует множество всех множеств. Одним из свойств этого гипотетического множества является то, что оно содержит само себя (ведь оно тоже множество). Докажите, что множество всех множеств не может существовать.»
То есть акцентировать внимание на возможности содержания множеством себя.