Автор Тема: многочлены  (Прочитано 5381 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн лялечка

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 1
    • Просмотр профиля
    • E-mail
многочлены
« : 26 Февраль 2012, 18:43:00 »
1. доказать, что при всех натуральных n>2 число 7n^3+3n^2-3n+1 является составным
2. пусть c1, c2, c3, c4, c5-корни многочлена x^5-12x^4+53x^3-100x^2+84x-24. Построить многочлен, имеющий корни 1/c1, 1/c2, 1/c3, 1/c4, 1/c5.
3. найти сумму коэффициентов многочлена (x^2-x+1)^100 при нечетных степенях x.
4. один из корней x^3-2x^2-5x+y=0 равен=1. найти y и еще 2 корня уравнения.
5. показать, что многочлен 1+x^2+x^4+...+x^20 делится на многочлен 1+x+...+x^10
6. при каких значениях параметра p оба корня уравнения (p-2)x^2-2px+p+3=0  положительны?
7. привести многочлен к стандартному виду (1-x)^5+5(1-x)^4*x+10(1-x)^3*x^2+10(1-x)^2*x^3+5(1-x)*x^4+x^5
« Последнее редактирование: 26 Февраль 2012, 19:10:04 от Леонид »

Оффлайн Леонид

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 6792
    • Просмотр профиля
    • Домашняя страница
Re: многочлены
« Ответ #1 : 26 Февраль 2012, 20:04:51 »
1)
7n3+3n2-3n+1 = 3n2-3n-6+7n3+7 = 3(n2-n-2)+7(n3+1) = 3(n-2)(n+1)+7(n+1)(n2-n+1) = (n+1)(не важно что)

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #2 : 16 Март 2012, 12:54:23 »
 :-[ Учитывая большое значение многочленов в математике, следует ещё раз вернуться к решению
отдельных задач.
  Для любознательных лучше, для просмотров решений, зарегистрироваться на Математическом форуме (это быстро).Иначе коммерческие заставки лишат просмотра.Это бесплатно.
  Регистрация здесь:http://mathhelpplanet.com/viewtopic.php?f=19&t=15361&st=0&sk=t&sd=a

   Решения следующие:
6. при каких значениях параметра p оба корня уравнения (p-2)x^2-2px+p+3=0  положительны?
 Корни положительны при условии:
 D>или =0;  Х1+Х2=(-b/a)=-(-2p/(p-2))>0;   X1*X2=c/a=(p+3)/(p-2)>0.
 Тогда  D=b^2-4*a*c=(-2p)^2-4*(p-2)*(p+3)=-4p+24.
учитывая знаменатель (p-2) и в условиях требуется оба корня.
 Ответ:p]2;6[.

4. Один из корней x^3-2x^2-5x+y=0 равен=1. Найти y и еще 2 корня уравнения.
Если х=1 то у=6 .Подставив  у=6  имеем  x^3-2x^2-5x+6=0 . Затем сгруппируем и разложим

(х^3-х^2)-(х^2-х)-(6х-6)= х^2(х-1)-х(х-1)-6(х-1)= (х-1)(х^2-х-6)=0
х-1=0  и   х^2-х-6=0
Дискриминант=1+24=25 , а корни =(1+5)/2 и =(1-5)/2.

Ответ: х1=-2, х2=3 и х3=1

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3091
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #3 : 17 Март 2012, 18:53:40 »
Здравый смысл подсказываетт обратиться...
Здравый смысл подсказывает, что такие сообщения  будут удаляться. Либо вы даете прямую ссылку на страницу с ответом, либо никак.
« Последнее редактирование: 17 Март 2012, 18:55:57 от ptil »

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #4 : 19 Март 2012, 01:12:25 »
 :-[3.Найдите сумму коэффициентов при нечетных степенях в многочлене, который получается из выражения f(x)=(x2-x+1)100 в результате раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых.
Подсказка

Что получится, если подставить в данное выражение x=1 и x=-1?
Решение

Если в выражении f(x) раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, и подставить x=1, то мы получим сумму всех коэффициентов при степенях xk. Действительно, если f(x)=anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0, то f(1)=an+an-1+...+a1+a0. Если же в выражении f(x) раскрыть скобки, привести подобные слагаемые, и подставить x=-1, то мы получим сумму разность коэффициентов при четных и нечетных степенях: f(-1)=(-1)nan+(-1)n-1an-1+...-a1+a0. Итак, если M - сумма коэффициентов при четных степенях, а N - сумма коэффициентов при нечетных степенях, то M+N=f(1) и M-N=f(-1). Отсюда 2M=f(1)+f(-1), и M=(f(1)+f(-1))/2. По условию f(x)=(x2-x+1)100, откуда находим f(1)=1 и f(-1)=1. Поэтому сумма коэффициентов при нечетных степенях равна (1+1)/2=1.
Ответ:1
http://www.problems.ru/view_problem_details_new.php?id=35597&into_basket=35597





Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #5 : 19 Март 2012, 01:18:23 »
 :-[5. показать, что многочлен 1+x^2+x^4+...+x^20 делится на многочлен 1+x+...+x^10
 Для того чтобы  x^n+1 делилось х+1 ,необходимо и достаточно, чтобы (-1)^n+1=0, т.е.чтобы n было
нечётным.
 Итак, 1+x^2+...+x^(2n-2) делится 1+x+x^2+...+x^ (n-1) при n-нечётном.
 
Первоисточник:В.А.Кречмар.Задачник по алгебре.Издание пятое.Наука.,М.,стр 232 зад 21
http://www.krelib.com/elementarnaja_algebra/12969

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #6 : 19 Март 2012, 01:24:05 »
 :-[2. пусть c1, c2, c3, c4, c5-корни многочлена x^5-12x^4+53x^3-100x^2+84x-24. Построить многочлен, имеющий корни 1/c1, 1/c2, 1/c3, 1/c4, 1/c5.
Подставляем  х=1/z  и умножаем на  (-z^5).
24z^5-84z^4+100z^3-53z^2+12z-1.

Оффлайн ALEXIN

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 468
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: многочлены
« Ответ #7 : 19 Март 2012, 01:27:36 »
 :-[7. привести многочлен к стандартному виду (1-x)^5+5(1-x)^4*x+10(1-x)^3*x^2+10(1-x)^2*x^3+5(1-x)*x^4+x^5
По формуле   (a+b)^5=a^5+5a^4*b+10a^3*b^2+10a^2*b^3+5a*b^4+b^5
Используя  симметрию:  ((1-х)+х)^5=1^5=1.