Геометрия

[VNM]

Дана окружность и две точки: точка A на окружности и M внутри. Найти на окружности точки B и C такие что точка M будет центром окружности вписанной в треугольник ABC.

[hripunov]

Можно использовать формулу Эйлера: R^2 − 2*R*r = OI^2, где R — радиус описанной вокруг треугольника окружности, r — радиус вписанной в него окружности, O — центр описанной окружности, I — центр вписанной окружности.
Отсюда находим радиус вписанной окружности, дальше методом построения - проводим из точки А касательные к малой окружности, и т.д....

[VNM]

есть очень простой способ построения, но его нужно обосновать.

[hripunov]

Вот чисто графический способ, основанный на "теореме трилистника"

[VNM]

Доказательство следует из этого рисунка.
Если тр-к A₀BC равнобедренный то легко доказать что BM₀ - биссектриса угла A₀BC.

[hripunov]

Можно доказать еще следующим образом:



-АВС-треугольник, О-центр вписанной окружности, O'-центр описанной окружности
-Продлеваем биссектрису угла САВ до пересечения с описанной окружностью в точке М.  Угол ОАС равен а, угол ОСА равен в.
-Угол АОС = 180-(а+в) . Угол СОМ = 180-АОС =а+в.
Угол САВ=2а, угол СМВ равен 180-2а, как угол, опирающийся на ту же хорду.
-Треугольник СМВ - равнобедренный, значит угол МСВ=МВС=(180-(180-2а))/2=а
-Угол ОСВ = в, угол ОСМ = а+в , и равен СОМ, значит треугольник СОМ - равнобедренный.
Аналогично доказывается равнобедренность треугольника МОВ.
Треугольники СОМ и МОВ - равнобедренные, с общей боковой стороной и общей вершиной, противоположной основаниям. Значит они лежат на одной дуге окружности - дуге СОВ с центром в М.