И снова векторы =)

На всякий случай приведу решение первой задачи через векторное произведение, если требуется "школьное" решение, то напишите.
Сначала немного общих рассуждений:
Площадь параллелограмма, построенного на произвольных векторах "a" и "b", равна модулю их векторного произведения [a,b]. Диагонали этого параллелограмма даются векторами b+a, b-a. Векторное произведение этих векторов равно [b+a,b-a] = [b,b] + [a,b] -[b,a] - [a,a] = 2[a,b], поскольку [a,a]=[b,b]=0 и [b,a]=-[a,b]. Следовательно, площадь параллелограмма, построенного из диагоналей, в два раза больше площади исходного параллелограмма.
Вернемся к исходной задаче. На основании доказанного выше достаточно найти площадь параллелограмма, построенного на векторах a и b, и поделить результат пополам.
[a,b] = [2m-n, 4m-5n] = 2*4[m,m] - 2*5[m,n] - 4[n,m] + 5[n,n] = -10[m,n] + 4[m,n] = -6[m,n].
Площадь параллелограмма равна половине модуля этой величины: |-6[m,n]|/2 = 3|[m,n]| = 3|m|*|n|*|sinπ/4| = 3*2^-1/2.

Во второй задаче точка D является проекцией B на AC, поэтому находим единичный вектор, смотрящий вдоль стороны AC. Расстояние AD будет тогда равно скалярному произведению этого вектора на AB.
Вектор из А в C: (-5+1, 6+2, -4-4) = (-4, 8, -8) = 4*(-1,2,-2). Чтобы сделать единичный вектор, найдем его длину: 4*((-1)² + 2² + (-2)²)^1/2 = 12.
Значит, единичный вектор из A в C: (-1, 2, -2)/3.
Вектор из A в B: (-4+1, -1+2, 2-4) = (-3, 1, -2).
Его скалярное произведение с предыдущим вектором равно (-3*(-1) + 1*2 + (-2)*(-2))/3 = 3.
Следовательно, вектор из A в D равен единичному вектору из A в С, умноженному на 3, т.е. просто вектору (-1, 2, -2).
Осталось только добавить координаты самой точки А, чтобы получить ответ.
Координаты точки D: (-1, 2, -2) + (-1, -2, 4) = (-2, 0, 2).

	Автор	Тема: И снова векторы =) (Прочитано 357 раз)
0 Пользователей и 2 Гостей смотрят эту тему.