Разрезание тапеции

[hripunov]

Кусок бумаги в форме  трапеции АВСD с неизвестными размерами сторон и неизвестными углами  кто-то хотел разрезать на две равные по площади части, причем разрез был начат из точки А -вершины при основании. Только этот человек ошибочно начал резать по диагонали трапеции. Потом  человек обнаружил, что режет неверно и бросил работу, оставив на листе один прямолинейный надрез, оканчивающийся в произвольной точке G на диагонали трапеции.

1)Как надо было действовать человеку?

2) Нужно закончить разрез, добавив к уже сделанному надрезу одну прямую, чтобы получившаяся ломаная линия из двух отрезков разделила трапецию на две равные по площади части . Рассмотрите все возможные случаи, зависящие от того. насколько глубоко выполнен первый надрез..

Задачу небходимо решить построением, ничего не измеряя

[andrey_60]

1)Как надо было действовать человеку?

1. Проводим прямую CD
2. Проводим прямую AC
3. Через точку B проводим прямую параллельную прямой АС. Она пересекается с прямой CD в точке В1.
4. Делим отрезок В1D пополам получаем точку С1 (она будет всегда лежать на отрезке CD). Прямая АС1 делит трапецию на две равные части

2) Нужно закончить разрез, добавив к уже сделанному надрезу одну прямую, чтобы получившаяся ломаная линия из двух отрезков разделила трапецию на две равные по площади части . Рассмотрите все возможные случаи, зависящие от того. насколько глубоко выполнен первый надрез..

1. Повторяем первые три шага решения первой задачи. Получаем треугольник  АB1D.
2. Искомая точка может лежать только либо на отрезке B1D (причем на части CD) либо на AD. Проверяем для отрезка B1D (для отрезка AD выполняется аналогично).  Через точку А проводим прямые параллельные GB1 и GD, находим их точки пересечения с прямой B1D (пусть будут точки L, M). Если середина LM (пусть будет K) лежит на CD, то ломанная AGK делит трапецию на 2 равные части, иначе надо повторить аналогичные построения данного шага для отрезка AD.

[hripunov]

andrey_60, 

У меня чуть другой способ, но основанный на тех же принципах:

1)Сначала нужно ответить на первый вопрос задачи. Построим линию, выходящую из точки А и разделяющую трапецию на две равные по площади части.
-Проведем диагональ BD, найдем ее середину  E.
-Проведем отрезки - АЕ и ЕС, заметим, что ломаная АЕС разделяет трапецию на две равноплощадные части.
-Проведем EFпараллельно AC /точка F лежит на боковой стороне исходной трапеции/, получим трапецию ACFE, ее диагональ -отрезок АF разделяет трапецию ABCD на две равные по площади части. Это следует из того, что в трапеции ACFE треугольники COF и AOE равны по площади.
2) Теперь рассмотрим вопрос с завершением разрезания.
Возможны два случая, зависящие от расположения точки G (случаи "случайных совпадений" не рассматриваются)
a) Точка G расположена так, что высота  треугольника AGD, проведенная к основанию AD меньше высоты треугольника АFD.
Строим трапецию AGFM, у которой М лежит на СD, ее диагональ GM и есть недостающий отрезок ломаной АGM.
б) Точка G расположена так, что высота  треугольника AGD, проведенная к основанию AD больше высоты треугольника АFD.
В этом случае действуем следующим образом:
переносим соотношение высот этих треугольников на основание трапеции AD, так, чтобы у треугольников AGM и AFD соотношение высот было бы обратно соотношению их оснований. GM и есть искомый недостающий отрезок ломаной AGM.