Закончить разрезание треугольного листа

[hripunov]

Лист бумаги имел форму произвольного треугольника с неизвестными размерами и углами. Кто-то надрезал лист, проведя один прямолинейный разрез, начинающийся в вершине треугольника и заканчивающийся в произвольной точке "А", лежащей внутри треугольника.  Необходимо закончить разрезание, проведя в нужном направлении один прямой луч из точки "А", чтобы получившаяся в итоге ломаная линия разделила треугольник  на две равные по площади части.  Из инструментов можно использовать линейку без делений и циркуль...

[Смекалистый]

Пусть M₁, M₂, M₃ - середины сторон AC,AB,BC.
AD - первый надрез.
Строим M₁, M₂, M₃, M₂M₃, M₁M₃ и получаем 3 случая:

1) D лежит в AM₂M₃M₁
2) D в BM₂M₃
3) D в CM₁M₃

3-й случай сводится ко 2-му, если перевернуть лист.

1) D лежит в AM₂M₃M₁
а) Пусть D выше AM₃.

Построение:
1) Строим AE параллельно DM₃.
DE - искомый отрезок.

Доказательство:
Воспользуемся 2 утверждениями:
1) Медиана делит треугольник на 2 равных по площади треугольника.
2) В трапеции, где проведены диагонали, площади треугольников, примыкающих к боковым сторонам равны.

S_AM3B=S_AM3C (AM₃ - медиана)

S_ADH=S_HM3E (DM₃EA - трапеция)

В 1-м равенстве добавим 0 к обеим частям равенства:
S_AM3B-S_ADH+S_HM3E = S_AM3C-S_HM3E+S_ADH
S_ADEB=S_ADEC

б) Пусть теперь D ниже AM₃.

Построение (такое же):
1) Строим AE параллельно DM₃.
DE - искомый отрезок.

Доказательство(почти такое же):
S_AM3B=S_AM3C (AM₃ - медиана)

S_ADH=S_HM3E (DM₃EA - трапеция)

В 1-м равенстве добавим 0 к обеим частям равенства:
S_AM3B+S_ADH-S_HM3E = S_AM3C+S_HM3E-S_ADH
S_ADEB=S_ADEC


2) D в BM₂M₃
Тут все немного корявее, но идея простая.












BL/2=QR, т.к. M₂M₃ - средняя линия



Построим TL=DK, LS=AM₁.
Получаем:


Из двух равенств получим:
SR=AE/2
Осталось только отложить 2SR от точки A.

Построение:
1) Строим
2) Через D проведем прямую параллельную AC, и в пересечении с BL найдем т. T.
3) Отложим LS=AM₁
4) В пересечении TS и M₂M₃ получим Q.
5) Опускаем
6) С помощью циркуля строим:
AE₁=SR
E₁E=SR
DE - искомая.
Готово.

Жаль, что для 2-го случая не нашлось красивого решения как для 1-го.

[Смекалистый]

Кстати у кого есть GeoGebra, могут подвигать точку D и посмотреть в динамике. 

[hripunov]

Смекалистый,    

У меня решение почти аналогично,
но я рассматривал два случая, подразумевая, что вращением бумажного треугольника можно привести любую конфигурацию к одному из них.
Вот мои рассуждения:
Возможны два варианта проведения первого, произвольного отрезка, определяющие конфигурацию ломаной:
1) Точка А - конец  первого отрезка ломаной , проведенного из одной из вершин при основании -    находится на расстоянии от основания ,большем, чем  половина  высоты треугольника  

2) Точка А - конец  первого отрезка ломаной , проведенного из одной из вершин при основании -    находится на расстоянии от основания,меньшем, чем  половина  высоты треугольника  
Третий вариант - когда точка отстоит от основания ровно на расстоянии половины высоты - предполагает элементарное решение

1 Случай
- Пусть исходный треугольник ВСЕ, точка А отрезка  ВА находится на расстоянии большем, чем половина  высоты треугольника  от основания ВЕ
- На прямой-продолжении BE находим точку D - такую, что площадь треугольника ВАD равна площади треугольника ВСЕ. Для этого сначала параллельными прямыми  переносим   соотношение высот этих треугольников АК и CF  на сторону  ВС, получаем точку А', затем проводим СD параллельно A'E  и на продолжении BE находим точку D. Имеем CF/AK= BD/BE, таким образом, у треугольников ВСЕ и BAD  соотношение оснований обратно соотношению высот, проведенных к этим основаниям, значит площади ВСЕ и BАD равны.
-Отыскиваем середину отрезка BD- точку G, при этом площадь BAG составляет половину площади ВСЕ. Значит отрезок AG- искомый.

[hripunov]

2 Случай
- Пусть исходный треугольник ВСЕ, точка А отрезка  ВА находится на расстоянии меньшем, чем  половина высоты треугольника от основания ВЕ
- Проводим медиану BD, которая делит треугольник ВСЕ на два равных по площади треугольника. Проводим отрезок АD, затем из точки В проводим прямую, параллельную AD  до пересечения с  СE, точка пересечения - точка G и есть искомая точка, а AG - искомый отрезок.
Для доказательства рассмотрим трапецию BADG, в которой треугольники  АВО и DGO равны по площади. Значит площадь четырехугольника ВАGE равна площади BCGA