Дорезать прямоугольник

[hripunov]

Имеется прямоугольный кусок бумаги с неизвестными размерами и неизвестным соотношениям сторон. Кто-то надрезал его, сделав прямой разрез, начинающийся из угла и заканчивающийся в произвольной точке А внутри прямоугольника. Необходимо закончить разрез, проведя луч из точки А, при этом необходимо, чтобы прямоугольник разделился на две равные по площади части... Из инструментов имеется циркуль и  линейка без делений.

[Смекалистый]

Да, действительно есть короткое решение 

Построения красным цветом.



Построение:
1) Провести прямую через т.A и противоположный угол С, в пересечении со стороной OH получим точку F.
2) С помощью циркуля отложить CG=OF.
AG - искомый отрезок


Доказательство:

Пусть стороны прямоугольника k₁ и k₂, длины перпендикуляров из точки A на стороны прямоугольника a и b.
Площадь верхнего многоугольника


Т.е. половина прямоугольника.


Добавлю частные случаи:
1) Если A на диагонали, т.е. F совпадает с O, то AC - ответ
2) Если F лежит на нижней стороне, то нужно перевернуть лист и сведем задачу к решенной.

[hripunov]

 
А я к похожему построению пришел чуть другим путем:


Проводим отрезок АС. Из точки В проводим луч  параллельно АС до пересечения со стороной прямоугольника в точке Е. Отрезок АЕ - и есть искомый отрезок.

Для доказательства достаточно вспомнить, что в любой трапеции из четырех треугольников, на которые ее разбивают диагонали, два треугольника, содержащие боковые стороны, равны по площади.
Проводим диагональ ВС, которая разбивает прямоугольник на два равных треугольника.
При этом площадь АВО  равна площади СЕО.

[Смекалистый]

На этот раз у меня решение получилось более оптимальным, т.е. требуется меньше построений. 
На построение параллельной прямой требуется 2 окружности, а у меня 1. 

[hripunov]

На этот раз у меня решение получилось более оптимальным, т.е. требуется меньше построений. 
На построение параллельной прямой требуется 2 окружности, а у меня 1. 

Угу!

[hripunov]

Можно еще порешать такую же задачу для случая произвольного треугольника. У меня единого способа не выработалось, есть два варианта , зависящих от конфигурации первоначального разреза. Может удастся найти единый способ

[hripunov]

Два варианта различаются расположением конечной точки ломаной:

-Если конец первого отрезка ломаной, выходящей из вершины при основании треугольника поднимается выше половины высоты треугольника, то конец второго отрезка будет лежать на основании
-Если конец первого отрезка ломаной, выходящей из вершины при основании треугольника НЕ поднимается выше половины высоты треугольника, то конец второго отрезка будет лежать на боковой стороне.

[hripunov]

Все таки, решения для этих двух вариантов немного различаются, но они оба довольно лаконичны. Задача не подходит к названию темы, поэтому лучше я ее задачу выложу отдельной темой, под названием " Закончить разрезание треугольного листа".