Исправить разрезание

[hripunov]

Квадратный кусок линолеума разделен линиями рисунка на 4 равных разноцветных квадрата. Один мастер решил разъединить его на 2 равные части прямым разрезом по диагонали.  Но, к сожалению, линия реза ушла вбок. Прямолинейный надрез, который мастер успел сделать, начинается в углу квадрата, имеет произвольное направление, и заканчивается в произвольной точке А, оставаясь в пределах маленького квадратика, как показано на рисунке. Необходимо завершить начатый разрез одной прямой линией, выходящей из А, чтобы весь кусок разделился на две равные по площади части. Помогите мастеру сделать это, не измеряя расстояний, а используя лишь циркуль и линейку.

[MOHAXUACV]

можно без цыркуля просто провести отрезок через центр от точки А

[hripunov]

можно без цыркуля просто провести отрезок через центр от точки А

 
Любая прямая, которая пройдет через весь квадрат и через центральную точку разделит его на 2 равных части.

Но здесь мы имеем дело с ломаной линией, часть которой уже кто-то ошибочно провел, и нам нужно провести ее вторую часть. Примерно это будет выглядеть как на рисунке. Вопрос в том, как построить точно.

[misha13]

А если ломаную сделать из трех отрезков, то все очень просто - надо только построить ломаную линию, симметричную относительно центра.

[hripunov]

А если ломаную сделать из трех отрезков, то все очень просто - надо только построить ломаную линию, симметричную относительно центра.

Это была бы совсем легкая задача... Требуется нарисованть ломаную именно из двух отрезков, причем один уже нарисован.

[Леонид]

Алгебраически у меня выходит
,
если всю сторону большого квадрата принять за 1.
А одними построениями, без подсчётов...

[hripunov]

Леонид, по моему в формуле борона... По рисунку видно, что если мы ее применим, то Х окажется очень маленьким, и линия придет очень близко к углу...

И потом, пользуясь  измерениями размеров , можно просто пойти пошагово - измерить площадь квадрата, площади отделенных на вашем рисунке красными линиями прямоугольников, треугольников, сравнить, затем отделить на верхнем левом прямоугольнике  нужный  треугольник.

Построением же можно провести линию не прибегая к измерению расстояний.

[Леонид]

Леонид, по моему в формуле борона... По рисунку видно, что если мы ее применим, то Х окажется очень маленьким, и линия придет очень близко к углу...

По-моему, формула верная - там же сторона всего квадрата взята за 1, так что х получается в долях от 1. Если ввести в формулу ещё сторону квадрата (k), будет

.

Но, конечно, условию "без измерений" это всё не соответствует...

[hripunov]

Да, формула верна. Я вначале ее не  понял


Теперь нужно решение для случая, если у мастера нет возможности измерять расстояния.

[Смекалистый]

Продолжу решение Леонида в тех же обозначениях и на том же рисунке.



Идея решения:
Пусть сторона квадрата равна k.
Пусть b>a. В случае если b<a решение аналогично и рисунок будет симметричен относительно диагонали квадрата.

По формуле выше:



Отсюда:



Это наводит на мысль о подобных прямоугольных треугольниках. Построим их. Это тр. BCD и тр. EFG, в них есть
равные углы:
.
Отсюда идея: отложить равные углы.

Решение (построение):
1) Опустить перпендикуляры


2) С помощью циркуля отложить: BC=b-a
a) С помощью циркуля на OH построить: OD₁=OD=a
б) С помощью циркуля на BE построить: BC=HD₁=b-a

3) С помощью линейки провести отрезок DC

4) С помощью циркуля и линейки от луча GE отложить угол равный данному BDC, т.е. построить
.


Теперь подробно пункты 1 и 4.
Построение 1.
Дана точка A и прямая a. Построить перпендикуляр .
Это знакомое всем построение.

Построение 2.
Дан угол A. От луча A₁P отложить угол равный углу A.
Построение:


1) На сторонах угла A выбираем произвольно 2 точки B и C. Сводим задачу к построению треугольника равного данному по 3 сторонам.
2) С помощью циркуля построить окружность с центром A₁, радиусом AC=a, на пересечении окружности и луча получим точку C₁.
3) С помощью циркуля построить окружность с центром C₁, радиусом BC=b
4) С помощью циркуля построить окружность с центром A₁, радиусом AB=c
5) На пересечении 2 окружностей получим 2 точки B₁ и B₂. Углы B₁A₁C₁ и B₂A₁C₁ искомые.

А теперь все построения вместе:
построения шага 1 - синие, шага 2 - фиолетовые, шага 3 - оранжевые, шага 4 - красные.


Вроде всё. 

[hripunov]

Смекалистый, .
 Идею я  понял, с деталями поразбираюсь....

Пока выложу свое решение. Прошу заметить, что оно действует не всегда, поэтому  условие ограничено  - проведенный произвольный луч не выходит за пределы маленького квадрата...

Решение такое:
1) Разделяем квадрат на 2 равные части прямой лиенией СВ, проходящей через т. А и центр квадрата., при этом СЕ =ВО
2) Строим треугольник АСF , равный по площади треугольнику АBO по другую сторону от линии СВ. У этих двух треугольников соотношение оснований  CF и ОВ должно быть обратно соотношению их высот к этим сторонам. Соотношение  высот, проведенных из А  к CF и ВО равно соотношению сторон СА и ВА. Откладываем расстояние АВ на СА и по теореме Фалеса находим точку F. Отрезок AF -искомый отрезок.

[hripunov]

 Леонид и Смекалистый!  Ваш способ подойдет для любого "выноса" луча из угла, а способ, описанный мной нужно будет корректировать и усложнять при некоторых положениях точки А. При этом такой способ подойдет не только для квадрата, но и для прямоугольника с неизвестными соотношениями сторон....

[Леонид]

Смекалистый, снимаю шляпу!

[seamew]

Очень классное объяснение! Даже я поняла, что делать нужно 

[hripunov]

Я тут с ужасом и стыдом обнаружил, что у задачи есть еще очень простое и лаконичное решение. И оно подойдет не только к квадрату, но и к любому прямоугольнику с неизвестными размерами и соотношениями сторон.
Создам  для обдумывания отдельную тему под названием "Дорезать прямоугольник". А в этой теме я , благодаря Леониду и Смекалистому,  для себя открыл ранее незнакомые закономерности