Cколько точек возможно

[sil]

Какое максимальное количество точек, ни какие  три из которых не лежат на одной прямой, можно расположить на плоскости с тем условием, чтобы любой , построенный на четырех произвольных точках  как на вершинах, выпуклый  четырехугольник  содержал хотя бы две равные стороны?


Срочно

[hripunov]

Условие явно слегка некоррекно, вероятно речь идет о выпуклых четырехугольниках....

Я думаю, максимально возможное количество точек - 10.

Как строго доказать - не знаю, но рассуждая на бытовом уровне, можно сказать, что девять точек можно расположить по кругу в виде правильного девятиугольника. Тогда расстояния между соседними точками равны. Возможные разные отрезки такие:
- в соседнюю точку
-через точку
-через две точки
- через три точки
далее длины дублируются.
Но нам не построить четырехугольник, используя все четыре варианта, ибо 1+2+3+4=10, а не 9 . Значит,  используя все четыре длины мы не вернемся в исходную точку.

Итак, девять точек по кругу, а одну смело можно добавить в середину, т.к. ее использование заведомо предполагает и "возврат" на окружность, то есть, такой же длины отрезок, как и ведущий  к ней снаружи .
Сейчас нарисую схему......

[hripunov]

[sil]

Точно, о выпуклых .  Спасибки