Автор Тема: Геометрические  (Прочитано 3692 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3091
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Геометрические
« : 18 Сентябрь 2009, 19:08:47 »
1. Существует ли выпуклый многоугольник 1999-угольник, все углы которого выражаются целым числом градусов?
2. Если я наложу квадрат со стороной 6 дюймов на треугольник, я закрою три четверти треугольника. Если я наложу треугольник на квадрат, то я закрою до половины квадрата. Какова площадь треугольника?

Оффлайн fury02

  • Пользователь
  • **
  • Сообщений: 55
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические
« Ответ #1 : 19 Сентябрь 2009, 14:44:04 »
2) 18

Оффлайн sqrt

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 29
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические
« Ответ #2 : 19 Сентябрь 2009, 16:21:36 »
1) нет, это невозможно  для выпуклого N-угольника при N>360

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3091
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические
« Ответ #3 : 19 Сентябрь 2009, 17:40:56 »

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3091
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрические
« Ответ #4 : 19 Сентябрь 2009, 17:42:53 »
1) нет, это невозможно  для выпуклого N-угольника при N>360
Верно, невозможно, но хотелось бы все-таки обоснования...

Оффлайн sqrt

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 29
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические
« Ответ #5 : 19 Сентябрь 2009, 17:53:47 »
Сумму углов выпуклого 1999-угольника и среднее арифметическое S градусной меры угла выпуклого 1999-угольника  нетрудно сосчитать. Находим: 179<S<180.
Если есть хотя бы один целочисленный угол меньше S то должен присутствовать и хотя бы один  угол больше S, и обратно.Но если какой-то угол X 1999-угольника  больше S, то такой Х не может быть целочисленным, иначе 1999-угольник становится либо невыпуклым (Х>180) либо вырождается в выпуклый 1998-угольник (Х=180).

Оффлайн sqrt

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 29
    • Просмотр профиля
Re: Геометрические
« Ответ #6 : 21 Сентябрь 2009, 00:54:14 »
Кстати, вот не такой уж плохой вариант продолжения первой задачи:
Докажите, что всегда можно построить выпуклый N-угольник, у которого все углы целочисленные, при N не больше 360.
Это ведь совсем не следует из того, что невозможно при N>360.

На вторую задачу ответ - 24. В общем виде пока не решил, разобрал частный случай.