3aeHbKa)
Новичок
 Offline
Сообщений: 5
|
 |
« : 07 Апрель 2011, 20:59:15 » |
|
1) Какое число надо отнять от знаменателя дроби 1234567/11111111 и прибавить к её числителю, чтобы после сокращения получилась дробь 1/8 ?
2) В клубах толстяков «Толстый», «Полный» и «Жирный» по 10 человек. Однажды после совместного обеда они решили провести турнир по игре «Кто тяжелее?». Правила игры таковы: члены двух клубов по жребию разбиваются на пары (один человек — из одного клуба, другой — из другого), и толстяки в каждой паре меряются весом. Тот, кто оказался тяжелее, приносит своей команде очко. Известно, что веса всех толстяков за время турнира не менялись. Могло ли случиться, что:
а) во встрече Толстых с Полными со счетом 9:1 победили Толстые, во встрече Полных с
Жирными со счетом 9:1 победили Полные, а во встрече Жирных с Толстыми со счетом 9:1
победили Жирные?
б) во встрече Толстых с Полными со счетом 10:0 победили Толстые, во встрече Полных с
Жирными со счетом 10:0 победили Полные, а во встрече Жирных с Толстыми со счетом 10:0 победили Жирные?
3) Блоха прыгает по прямой. Длина первого ее прыжка — 1 см, второго — 2 см, третьего — 4 см и т.д. (длина каждого прыжка вдвое больше длины предыдущего). Сможет ли она через несколько прыжков оказаться ровно в 99 см от исходной точки?
4) а) Придумайте пять различных натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 5m, где m — наименьшее из этих пяти чисел.
б) Найдутся ли шесть различных натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 5m, где m — наименьшее из этих шести чисел?
5) Имеется палочка длиной x см (x > 1, число x не обязательно целое). Играют двое, ходят по очереди. За один ход разрешается произвольным образом поломать какую-либо из имеющихся палочек на три части. Проигрывает тот, после хода которого впервые появляется палочка длиной не больше 1. Соперник проигравшего объявляется победителем. При каких значениях x при правильной игре побеждает первый, а при каких — второй? Требуется не только дать ответ, но и описать, как должен играть победитель, а также объяснить, почему, играя так, он победит независимо от игры соперника.
6) Эксперту в суде предъявлено 10 серебряных слитков, промаркированных на языке, известном эксперту, но неизвестном судье. Судья знает, что веса слитков равны 1001, 1002, ..., 1010 граммов, но не знает, какой слиток сколько весит. У эксперта есть точные
электронные весы, которые показывают вес груза, при условии, однако, что этот вес не более 2,5 кг. Он хочет доказать судье, что знает веса всех слитков. Сможет ли он сделать это: а) за 8 взвешиваний? б) за 7 взвешиваний? в) за 6 взвешиваний? г) за 5 взвешиваний?
7) Докажите, что существует плоская фигура площади 6, из которой можно выре зать любой прямоугольный треугольник с гипотенузой 4.
8 ) Четыре деревни расположены в вершинах прямоугольника со сторонами 8 км и 15 км. Можно ли проложить дороги так, чтобы по ним из любой деревни можно было добраться до любой и общая их длина не превышала 30 км?
9 ) Различные натуральные числа a1, …, an таковы, что для любых двух различных непустых подмножеств множества {a1, …, an} суммы чисел, входящих в эти подмножества, различны (для одноэлементного подмножества считаем «сумму входящих в него чисел» равной единственному его числу). Докажите, что 1/a1+…+1/an < 4.
10 ) Существуют ли такие числа А, В и С, где А неравно 0, что значение выражения Аn в квадрате +Bn+C при любом целом n равно целому числу, причём различным целым значениям n соответствуют различные значения данного выражения?
11) Треугольник DEF лежит внутри треугольника ABC. Для каждой из точек D, E и F нашли сумму расстояний от неё до прямых AB, BC и AC. Три эти суммы оказались одинаковыми. Докажите, что треугольник ABC — равносторонний.
12) Хотя бы одно из чисел х и у иррационально. Может ли случиться, что все три числа х2–у, у2–х, х+у рациональны?
|
