Автор Тема: Штирлиц  (Прочитано 2849 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3092
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Штирлиц
« : 03 Сентябрь 2009, 20:49:07 »
Штирлиц должен передать в Центр набор из четырех секретных чисел A, B, C, D (числа натуральные). Для большей секретности он отправил набор чисел A+B, A+C, A+D, B+C, B+D неизвестно в каком порядке. Центр, получив от Штирлица числа 13, 15, 16, 20, 22, расшифровал сообщение и нашел требуемый набор из четырех секретных чисел. Какие это были числа?

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Штирлиц
« Ответ #1 : 04 Сентябрь 2009, 22:58:28 »
как я не решал, короче не выходит.надеюсь кто-нить сможет более рационально решить.
итак,
суммируем все данные и получаем
3А+3В+2С+2D=86
3(А+В)+2(С+D)=86
из следующего равенства можно сделать вывод, что А и В одной четности (не знаю, как еще назвать), т.е. , если А-четное, то В тоже, и наоборот(почему? 86-четное число, может получиться при суммировании либо двух четных, либо двух нечетных чисел. число 2(С+D) очевидно четное => 3(А+В) тоже четное. ну а при умножении на 3 только четное число дает четное, => А+В- четное, значит А и В одной четности).
Так как у нас три числа четные (16, 20, 22) и два нечетных (13, 15), то суммы A+B, A+C, A+D, B+C, B+D тоже имеют определенные ограничения. Очевидно из выше доказанного, что А+В четное число, А+С и В+С одной четности, так же как А+D и B+D. Пусть С и D одной четности. ТОгда суммы A+C, A+D, B+C, B+D имеют одну четность. Но это противоречит условию, => С и D разной четности.
Это все я доказывал только для того, чтобы понять, какую четность имеет сумма четырех чисел А+В+С+D. У нас выходит, что либо три числа четные (А, В и С или D) и одно нечетное (С или D), либо три числа нечетные (А, В и С или D) и одно четное (С или D). В обоих случаях мы получаем нечетную сумму четырех чисел.
Итак, у нас есть 10 вариантов сумм четырех чисел, из них 6 сумм дает нечетное число. Разберем именно их.
Возьмем А+В за х, а С+D за у.
1.Пусть сумма 4 чисел равна 13+16=29.
3х+2у=86
х+у=29
легко решаем получившуюся систему и у нас выходит х=28. такого варианта среди чисел нет, у нет смысла находить.
2.Сумма чисел равна 15+16=31
3х+2у=86
х+у=31
в итоге этой системы получаем х=24, тоже не подходит.
3.Сумма чисел 13+22=35
3х+2у=86
х+у=35
здесь х=16, отлично. Проверяем у, получаем 19. Ну что ж, остальные варианты в топку, мы нашли что хотели.
Итак, теперь мы знаем, что А+В=16 и С+D=19, а А+В+С+D=35.
Теперь выпишем все что нам известно
А+В=16
А+С  13
А+D  15
C+D=19
B+D  20
B+C  22
A+B+C+D=35
Рассмотрим пары А+С, А+D и В+С, В+D. Разница между А+С и А+D равна разнице между В+С и В+D. Это 2 (22-20, 15-13) или 7 (20-13, 22-15). Тоесть, А+С-А-D=2 или А+С-А-D=7.
Получаем, разница между С и D либо 2 , либо 7. С помощью простого линейного уравнения выбираем находим С и D
1. разница 2. тогда уравнение
х+х+2=19
имеет коень 8.5, но по условию используются натуральные, т.е. целые числа, значит вариант отпадает.
2.разница 7
х+х+7=19
х=6
значит С и D равны либо 6, либо 19-6=13, т.е. конкретного значения С и D узнать невозможно.
Теперь А и В равны 22-13=15-6=9 или 20-13=13-6=7
Итого 4 числа: 6, 7, 9, 13.

Оффлайн ptil

  • Администратор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 3092
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Штирлиц
« Ответ #2 : 05 Сентябрь 2009, 00:06:56 »
Ответ правильный, но действительно немного длинный :)

Вот более короткий способ получить, что  А+В=16 и С+D=19:

Замечаем, что (A+C)+(B+D) = (A+D)+(B+C).
Из попарных сумм чисел 13, 15, 16, 20, 22 совпадают только 13+22 = 15+20 = 35, т.е. остается число 16, которое равно соответственно A+B. Тогда C+D = 19 (35-16)

Оффлайн DronNT

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1818
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Штирлиц
« Ответ #3 : 05 Сентябрь 2009, 00:15:27 »
да,действительно, что-о я перебрал немного  ;D
кстати если бы можно было использовать не только целые числа, получился б второй ответ?