Помогит решить пожалуйста

[ALEXIN]

    В табличной форме конечные результаты:

   наименование     вес в кг    цена за кг     сумма в руб.
    яблоки                 546            40              21840
   апельсины             182            45              8190
    бананы                 172            40              6880
   виноград               250            120             30000
    груши                  250            120             30000
  ИТОГО                  1400             -               96910

[Fylhtq1997]

Здравствуйте.
Прошла олимпиада городского тура я ни чего не смог решить.
Помогите пожалуйста разобраться.
1.  Костя выписал на доске 155 последовательных натуральных чисел, после чего все использованные в этой записи единицы заменил на тройки, все тройки    - на семерки и все семерки  — на единицы. Он утверждает, что на доске вновь оказались 155 последовательных натуральных чисел (в некотором порядке). Докажите, что он ошибается.
2.  Наибольший собственный делитель натурального числа n равен d. Может ли наибольший собственный делитель n + 2 равняться d + 2? (Собственным делителем числа называется любой его натуральный делитель, кроме 1 и самого числа.)
3.  ВL  -   биссектриса треугольника АВС такого, что угол С = 3*угла А На стороне АВ отмечена точка М, а на стороне АС - точка N такие, что угол AML = углу АNM = 90°. Докажите, что ВМ + 2МN > ВL + LM.
Спасибо.

[hripunov]

3.  ВL  -   биссектриса треугольника АВС такого, что угол С = 3*угла А На стороне АВ отмечена точка М, а на стороне АС - точка N такие, что угол AML = углу АNM = 90°. Докажите, что ВМ + 2МN > ВL + LM.
Спасибо.

- пусть угол А = а, тогда С=3а, АВС=180-4а.
-Находим углы MLA и BLC, выясняем, что каждый из них равен 90-а и они равны между собой.
- отражаем прямоугольный треугольник LMN относительно АС,замечаем, что LM' является продолжением BL.
- В треугольнике BMM' следующие стороны: МВ ; сторона BM'= BL+LM; сторона MM'=2MN. В треугольнике сумма длин двух сторон  всегда больше длины третьей...

[CD_Eater]

1. рассмотрите только младшую цифру в этих числах и переберите все 10 вариантов, какая была младшая цифра у первого числа последовательности

2.
если n = 2d, то

но
2 <= (n+2)/(d+2)
d+1 < d+2
перемножим, получим противоречие

значит, 2 < n/d
рассмотрим тождество

числитель положителен, значит, знаменатель тоже
скобка в числителе меньше (n+2)/(d+2), поэтому она также меньше n/d
все множители в числителе меньше n/d, поэтому у числа d > 1 найдётся делитель t > 1, меньший n/d
тогда число n/t является собственным делителем числа n и больше d

[Fylhtq1997]

3.  ВL  -   биссектриса треугольника АВС такого, что угол С = 3*угла А На стороне АВ отмечена точка М, а на стороне АС - точка N такие, что угол AML = углу АNM = 90°. Докажите, что ВМ + 2МN > ВL + LM.
Спасибо.

- пусть угол А = а, тогда С=3а, АВС=180-4а.
-Находим углы MLA и BLC, выясняем, что каждый из них равен 90-а и они равны между собой.
- отражаем прямоугольный треугольник LMN относительно АС,замечаем, что LM' является продолжением BL.
- В треугольнике BMM' следующие стороны: МВ ; сторона BM'= BL+LM; сторона MM'=2MN. В треугольнике сумма длин двух сторон  всегда больше длины третьей...

Здравствуйте.
Спасибо.
Но мне кажется что я нашёл у вас несколькоошибок. и противорейчий я и сам провал так решить .
Во-первых:
Если АВС=180-4а => углы МВL=BLC=90-а тогда угол BLA=90 т.к. (в треугольнике АВL сумма угла А и угла В = 90) Значит 3-ий угол 90 значит BL перпендикуляр AC ,а МN тоже перпендикуляр значит ВL||MN И если их продлить они не пересекутся .
И к томуже получается 2 треугольника ABL и BLC углы (ABL=LBC и BLC=ALB=90 как я уже писал) НО С не равен А как такое можнт быть 2 угла ровны а третий нет.
Во-вторых:
Если углы BLC=90-a => BLC=ABL=LBC как я уже писал выше.
Тогда MB||LC т.к. (BLC и ABL накр леж углы) - это не верно.
Если я не прав объясните почему.

[Fylhtq1997]

1. рассмотрите только младшую цифру в этих числах и переберите все 10 вариантов, какая была младшая цифра у первого числа последовательности

2.
если n = 2d, то

но
2 <= (n+2)/(d+2)
d+1 < d+2
перемножим, получим противоречие

значит, 2 < n/d
рассмотрим тождество

числитель положителен, значит, знаменатель тоже
скобка в числителе меньше (n+2)/(d+2), поэтому она также меньше n/d
все множители в числителе меньше n/d, поэтому у числа d > 1 найдётся делитель t > 1, меньший n/d
тогда число n/t является собственным делителем числа n и больше d

За вторую спасибо, но первую не очень понял.

[devnull]

Предположим, что первое выписанное на доске число оканчивалось на 0. Поскольку 155 = 15 десятков + 5, то среди 155 последовательных чисел на каждую из цифр 0, 1, 2, 3 или 4 будет оканчиваться по 16 чисел. На каждую из цифр 5, 6, 7, 8 и 9 будет оканчиваться только 15 чисел. Нетрудно понять, что если бы начальное число оканчивалось на 1, то мы имели бы по 16 чисел для концовок 1,2,3,4,5 и по 15 чисел для концовок 6,7,8,9,0. Аналогично это работает и для других концовок начального числа. Следовательно, любая последовательность из 155 последовательных натуральных чисел будет иметь среди своих концовок 5 цифр, которые встречаются 16 раз и 5 цифр, которые встречаются по 15 раз, причем эти цифры "не перемешаны". Теперь представьте, что мы провели замену 1->3->7->1. До замены у нас было по 16 нулей, единиц, двоек, троек и четверок. После замены у нас будет по 16 нулей, двоек, троек, четверок и семерок. Как мы видели, такая "перемешанная" последовательность не могла возникнуть из концовок 155 последовательных натуральных чисел.
PS. Возможно вам поможет, если вы представите цифры от 0 до 9 записанными на ленту, склеенную в кольцо. Тогда будет понятно, что означает "перемешанные" и "не перемешанные" цифры.

[devnull]

Во-первых:
Если АВС=180-4а => углы МВL=BLC=90-а тогда угол BLA=90 т.к. (в треугольнике АВL сумма угла А и угла В = 90) Значит 3-ий угол 90 значит BL перпендикуляр AC ,а МN тоже перпендикуляр значит ВL||MN И если их продлить они не пересекутся .

ABC = 180-4a => MBL = LBC = 90-2a  ну и дальнейшие вычисления соответственно неверны.

[Fylhtq1997]

Во-первых:
Если АВС=180-4а => углы МВL=BLC=90-а тогда угол BLA=90 т.к. (в треугольнике АВL сумма угла А и угла В = 90) Значит 3-ий угол 90 значит BL перпендикуляр AC ,а МN тоже перпендикуляр значит ВL||MN И если их продлить они не пересекутся .

ABC = 180-4a => MBL = LBC = 90-2a  ну и дальнейшие вычисления соответственно неверны.

Я извиняюсь за обвинения.
Простите пожалуйста.

[hripunov]

Во-первых:
Если АВС=180-4а => углы МВL=BLC=90-а тогда угол BLA=90 т.к. (в треугольнике АВL сумма угла А и угла В = 90) Значит 3-ий угол 90 значит BL перпендикуляр AC ,а МN тоже перпендикуляр значит ВL||MN И если их продлить они не пересекутся .

ABC = 180-4a => MBL = LBC = 90-2a  ну и дальнейшие вычисления соответственно неверны.

Я извиняюсь за обвинения.
Простите пожалуйста.

Ничего страшного. Досадный арифметический просчет помешал Вам решить эту задачу. И со мной такое часто происходит...
Наверное надо было более подробно описать поиск углов...
А вообще, часто попадаются задачи, где подразумевается какое-нибудь "совпадение" точек или прямых - и при решении  нужно выявлять такие  моменты...

[Fylhtq1997]

Огромное спасибо за помощь.

[Fylhtq1997]

Здравствуйте.
Помогите пожалуйста решит задачи.
1.   В соревнованиях участвовали 10 фигуристов. Каждый из трёх судей по своему мнению распределил между фигуристами места (с первого по десятое). Сумма мест, поставленных этими тремя судьями, у Хави оказалась строго меньше аналогичных сумм у остальных фигуристов. Какое наибольшее значение может принимать эта сумма у него?

2.   Докажите, что уравнение (а + Ъ\/3)⁴ + (c + d\/3)⁴ = 1 + \/3 не имеет решений в рациональных числах.

3.   Бесконечная линейка с двумя делениями (на расстоянии L) — это инструмент, позволяющий проводить прямую через две точки и отмечать на уже проведённой прямой отрезок длины L от заданной точки в любую сторону. Нельзя использовать другую сторону линейки и нельзя вращать линейку так, чтобы одно из делений оставалось не месте (при повороте линейка будет съезжать). Используя только эту линейку (и карандаш) постройте прямую, параллельную данной прямой.
4.      Найдите все простые числа вида [n²/5]
, где n — натуральное число. Квадратные скобки обозначают
целую часть числа, т.е. наибольшее целое число, не превосходящее данного.

5.     “Дракон” находится в клетке бесконечной клетчатой доски. Ход “дракона” заключается в прыжке на клетку, в которую можно попасть сдвигом на одну клетку по вертикали или горизонтали, а затем на N клеток в перпендикулярном направлении (при N = 2 “дракон” — это шахматный конь). При каких N “дракон” может пройти на любую другую клетку доски?

[zer0]

Что-то я не вижу вариантов самостоятельного решения. Значит, опять "решите за меня"?

[Fylhtq1997]

 Я вообще непонимаю как решать такие задачи.
Поэтому и прошу помощи.

[лучник]

5 При всех нечетных n дракон сможет ходить только по клеткам одного цвета....