Доска под водой

[ams]

Если материал доски был бы изотропным, то под воздействием опять же изотропного гидростатического давления мы получили бы то же относительное сжатие, т.е. доска стала бы длиной 50 см. Что будет на самом деле - неизвестно, так как дерево - сильно анизотропный материал и его параметры вдоль и поперек волокон сильно различаются.

[Леонид]

Если материал доски был бы изотропным

Да, материал считаем однородным.

то под воздействием опять же изотропного гидростатического давления мы получили бы то же относительное сжатие, т.е. доска стала бы длиной 50 см.

А вот как бы это доказать?

[ams]

Если взять куб, сделанный из изотропного материала, и на все его стороны приложить одинаковое давление, то куб уменьшится в размерах без изменения формы, т.е. станет кубом с меньшим размером стороны. Возьмем теперь два таких куба, которые будут соприкасаться гранями. Опять же приложим одинаковое давление на все грани. По третьему закону Ньютона (действие-противодействие), силы на соприкасающихся гранях кубов равны.  Кроме того, они будут равны и внешним силам давления, т.е. каждый из кубиков подвергается такому же всестороннему давлению как и куб из первого эксперимента, поэтому каждый из них уменьшится в размерах без изменения формы. Следовательно, относительная деформация будет одинаковой во всех направлениях. Аналогично, доску можно сложить из большого числа малых кубиков. Пусть вдоль какой-нибудь стороны доски мы разместили n кубиков длины A, которые после деформации будут иметь длину B. Относительная деформация доски в этом направлении будет (nB - nA)/nA = (B-A)/A, что не зависит от n, т.е. не зависит от исходной длины этой стороны. Т.е. доска будет сжиматься самоподобно.

Три замечания.
1) Почему изотропный куб под всесторонним давлением остается кубом.
Исходная задача обладает кубической симметрией, поэтому на частицы, которые переводятся друг на друга группой симметрии куба, действуют силы, которые также переводятся друг на друга этими преобразованиями симметрии. Таким образом ускорения частиц будут симметричны, т.е. будут симметричны изменения скоростей. Поскольку скорости частиц в начальный момент также обладали кубической симметрией (были все равны нулю), то и впоследствии эта симметрия сохранится. Значит перемещения частиц будут симметричны. Но и исходные положения были симметричны. Симметричные исходные положения + симметричные перемещения = симметричные конечные положения частиц => симметричная форма объекта после деформации.
2) Почему давление на соприкасающихся гранях кубов во втором эксперименте равно внешним силам давления. Запишем второй закон Ньютона для каждого из кубиков.
Масса*ускорение центра тяжести куба = Внешняя сила - Сила на соприкасающихся гранях
Масса куба пропорциональна третьей степени длины его ребра. Силы = давление * площадь грани, поэтому пропорциональны второй степени длины ребра куба. Отсюда видно, что для достаточно малых кубиков внешние силы давления будут действительно равны силам давления на соприкасающихся гранях.
3) В рассуждении никак не учитывалось влияние флуктуаций. На самом деле вывод о самоподобном изменении размеров тела может разрушаться флуктуациями, если зависимость прилагаемой силы от степени деформации не монотонна. Возьмем две спички и сложим их крестиком. Затем начнем прикладывать одинаковое давление на оба конца каждой спички, сжимая их. Даже если спички идеальны и абсолютно одинаковы, то мы рано или поздно достигнем критического давления, при котором спички вот-вот сломаются. Достаточно крошечной флуктуации давления на одну из спичек, чтобы она сломалась, в то время как вторая останется еще целой. Вся система "схлопнется" в одном измерении.

[kinder]

а если не пренебрегать толщиной доски

[kinder]

ктомуже я вижу изьян в доказательстве, симмитрия симмитрией, но где доказательство того что конечная форма будет подобна кубу ?
да - конечноя форма будет симметрична, но это может быть не куб 

[Bulgar]

когда то в "Что где когда???" показывали маленькие пластиковые стаканчики сделанные подводником из стандартных методом погружения. Так там пропорции стаканчика оставались прежними

[kinder]

вопрос не в том, так это или нет, вопрос в доказательстве 

[Леонид]

Если взять куб, сделанный из изотропного материала, и на все его стороны приложить одинаковое давление, то куб уменьшится в размерах без изменения формы, т.е. станет кубом с меньшим размером стороны. Возьмем теперь два таких куба, которые будут соприкасаться гранями. Опять же приложим одинаковое давление на все грани. По третьему закону Ньютона (действие-противодействие), силы на соприкасающихся гранях кубов равны.  Кроме того, они будут равны и внешним силам давления, т.е. каждый из кубиков подвергается такому же всестороннему давлению как и куб из первого эксперимента, поэтому каждый из них уменьшится в размерах без изменения формы. Следовательно, относительная деформация будет одинаковой во всех направлениях.

Спасибо!

[ams]

ктомуже я вижу изьян в доказательстве, симмитрия симмитрией, но где доказательство того что конечная форма будет подобна кубу ?
да - конечноя форма будет симметрична, но это может быть не куб 

Верно, доказательство не полное    На самом деле подробное доказательство таких фактов не слишком просто, потому что мы не предполагаем линейность. Вот схема подробного доказательства:
1) Взять однородный и изотропный шар. Под всесторонним давлением шар перейдет в однородный и изотропный шар меньшего радиуса. Это требует доказательства, которое не сложно идеологически, но громоздко. Доказательство изотропности простое, а вот однородность требует рассмотрения сил, действующих на каждый сферический слой изнутри и снаружи.
2) Внутри шара выделить воображаемый куб.
3) Поскольку шар сжимается самоподобно, то этот куб перейдет в куб. Это в сущности и докажет самоподобность сжатия куба под всесторонним давлением.

[kinder]

ага, теперь хорошо