Задача Цинь Цзю-шао

[ptil]

Китайский математик Цинь Цзю-шао, живший в 13-м веке, предложил такую задачу.
Город обнесен по кругу стеной с двумя воротами - на север и на юг. Если выйти из северных ворот и идти на север, то через 300 шагов придешь к большому дереву. Если же выйти из южных ворот и идти на запад, то это же дерево можно будет увидеть, пройдя 900 шагов.
Определить, скольким шагам равен поперечник города.

В ответе утверждается, что задачу нетрудно решить геометрическими построениями. У меня не получилось
Если решать аналитически, то получается малосимпатичное уравнение 4-й степени

P.S. Если нужно, могу сказать ответ

[Мими]

Это уравнение с двумя неизвестными. (Х+300)^2 + 900^2 = У^2, где Х - поперечник города, Х+300 - меньший катет, 900 - больший катет, У - гипотенуза. Решается по теореме Пифагора, но гипотенуза тоже неизвестна. Так что решить задачу практически невозможно.

[ptil]

Так что решить задачу практически невозможно.

Между практически невозможно и невозможно зазор достаточно велик

[Мими]

Теоретически это можно объяснить так - гипотенуза должна быть или касательной, или не касательной к окружности (но ни в коем случае не секущей). Графически это получается так: 800 шагов - видно, а 900 шагов - уже не видно. Промежуточных случаев я еще не рассматривала.

[Aravall]

Гипотенуза по-любому будет касательной. Если дерево становится видно только через 900 шагов, то прямая, на будет наименьшей, а наименьшей будет касательная.
Дойдя до той прямой, он только увидит дерево. Она не должна быть секущей. Но так как он только из этой точки видит дерево, то прямяа наименьшая и она будет касательной.
А если одна касательная равна 900, то и другая будет рана 900.

[Мими]

Тогда условие надо поставить так:
"Определить, скольким шагам МОЖЕТ БЫТЬ равен МАКСИМАЛЬНЫЙ поперечник города".

[Леонид]

У меня получается система уравнений:

tg a = (300+2r)/900
tg (a/2) = r/900

(r - радиус города; a - угол между гипотенузой и основанием треугольника)

Но, видимо, это не тот простой способ, который требуется.

[Aravall]

А сколько  задаче получается  ответе? Не 600?

[ptil]

А сколько  задаче получается  ответе? Не 600?

В ответе 900 шагов

[Tiana]

а что такое

поперечник города

? 

[Мими]

а что такое поперечник города? 

Это диаметр окружности его стены.

[Aravall]

При решении у меня получается кубическое уранвение:
2r3+3r2-243=0.
Вместо 900 и 300 брал 9 и 3.

[Aravall]

Если его решить, то получается r=4.5. А диаметр будет равен 9 или если умножить на 100 (я ведь брал место 300 и 900 по 3 и 9) получается ответ 900. Решал я с помощью геометрических построений. Правда не сказал бы , что это легко, так как  результате получается кубическое уравнение.

[ptil]

Жаль. Я надеялся, что все-таки существует несложное геометрическое решение

[Aravall]

Возможно оно существует.