|
andrey_60
|
 |
« Ответ #8 : 17 Октябрь 2010, 17:14:49 » |
|
Сумма чисел от 1 до N равна N*(N+1)/2.
Тогда сумма чисел от M до N равна N*(N+1)/2 - M(M-1)/2 (это же выражение равно (N+M)*(N-M+1)/2).
S=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10 = (2^8)*(3^4)*(5^2)*(7^1)
(N+M)*(N-M+1)/2 = (2^8)*(3^4)*(5^2)*(7^1), или после умножения обеих частей на 2 получаем
(N+M)*(N-M+1) = (2^9)*(3^4)*(5^2)*(7^1).
пусть А - натуральный делитель S, тогда второй делитель = (S/A), и без уменьшения общности можно считать, что A>(S/A).
Получаем систему
N+M = А
N-M+1 = S/A
, откуда
N = (A + S/A -1)/2
M = (A - S/A +1)/2
Т.к. M, N - натуральные, то один из множителей должен быть четным, а другой нечетным.
Т.е. надо найти максимальное количество пар множителей (один из которых нечетный), дающих в произведении S.
У числа (3^4)*(5^2)*(7^1) количество множителей равно (4+1)*(2+1)*(1+1) = [где 4,2,1 - степени] = 30,
тогда у числа S в 2 раза больше множителей = 60 (мы учитываем, что только 1 из множителей может быть четным).
Таким образом число S можно разбить на 30 пар (половина от 60, т.к. S не является квадратом натурального числа) множителей, удовлетворяющих нашему условию.
Но одна пара множителей нам не подходит (когда M=N, сумма последовательных чисел состоит из одного числа, а в условии задачи сказано - не менее 2),
т.е. получается 29 решений.
|
