Итак, мы все-таки пришли к тому чтобы создавать чат на mail.ru (без ведома администратора

- посмотрим что он скажет)
Интересно, какого ответа вы от меня ждете

Скажу следующее: чат гораздо удобнее чем форум в плане одновременного донесения информации. Так что вопросы задавать лучше через чат, это очевидно.
С ответами сложнее. Увидеть чужой ответ и скопировать его занимает очень мало времени. Т.е. отследить, кто сам догадался, а кто скопировал, нереально. Либо засчитывать только первый ответ (про это Леонид уже сказал)
Другой вариант: ответы посылать либо в приватный чат, либо в личку на форуме. Скажите, в чате время сообщения фиксируется? Если да, то возможна следующая схема:
на форуме создается тема, в которой договариваемся, где, как и во сколько будет викторина;
в назначенное время в общем чате (на mail или где-то еще, неважно) задается вопрос;
в приватный чат отправляются ответы
организатор викторины подсчитывает правильные ответы и публикует результат на форуме