2 в степени

[#sneg#]

Докажите, что число 2 в 101 степени +1 нельзя представить в виде суммы двух квадратов натуральных чисел.

[#sneg#]

Люди, простую задачу не решить, что ли. Сколько будет 2 разделить на 9.

[DronNT]

Люди, простую задачу не решить, что ли. Сколько будет 2 разделить на 9.

Мой гениальный калькулятор говорит: 0

[#sneg#]

А самому считать лень

[DronNT]

А самому считать лень

Просто интересно было, что мой калькулятор на этот пример ответит. Он такие задачки любит

[Леонид]

А, ну вот.

Известно, что натуральное число представимо в виде суммы двух квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда при разложении его на простые множители все простые множители вида 4k+3 входят в разложение этого числа в четных степенях.

Говоря конкретнее: если число кратно 3, но не кратно 9, - оно не представимо в виде суммы двух квадратов.

Берём калькулятор: 2¹⁰¹+1=2535301200456458802993406410753.
Это число кратно 3 и не кратно 9.
Значит, оно не представимо в виде суммы двух квадратов.

Вот интересно: а на математических Олимпиадах можно говорить "Известно, что...", а потом ещё пользоваться инженерным калькулятором?  

[#sneg#]

Рассказать ответ? И калькулятором можно пользоваться только с арифметическими действиями "+" "-" "*" ":"

[Леонид]

Рассказать ответ? И калькулятором можно пользоваться только с арифметическими действиями "+" "-" "*" ":"

Тут вопрос не в действиях, а в длине экрана калькулятора.
2 можно и вручную на себя 101 раз умножить, вот только влезет ли ответ.

Насчёт ответа: 

[#sneg#]

Я честно сильно в нём ничего не понял:

Легко убедится, что остаки от деления числа 2 на 9 чередуется переодически с периодом 6: 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4... Отсюда следует, что число 2¹⁰¹ даёт при деление на 9 остаток 5. Стало быть, это число +1 делится на 3, но не делится на 9. Квадраты натуральных чисел при делении на 3 дают остаток 1 или 0. Поэтому сумма двух квадратов делится на 3, то оба квадраты делится на 3 и 9, стало быть это число не делится на их сумму.

[Леонид]

Я честно сильно в нём ничего не понял:

Легко убедится, что остаки от деления числа 2 на 9 чередуется переодически с периодом 6: 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4... Отсюда следует, что число 2¹⁰¹ даёт при деление на 9 остаток 5. Стало быть, это число +1 делится на 3, но не делится на 9. Квадраты натуральных чисел при делении на 3 дают остаток 1 или 0. Поэтому сумма двух квадратов делится на 3, то оба квадраты делится на 3 и 9, стало быть это число не делится на их сумму.

Да, неплохо.
Принцип решения тот же, что у меня ("кратно 3, но не кратно 9"), но для проверки без калькулятора обошлись.

Там в решении написано как-то коряво, должно быть: "Легко убедится, что остаки от деления степеней числа 2 на 9 чередуются переодически с периодом 6: 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4..."

Т. е. 2⁴/9 даёт остаток 7; 2⁵/9 даёт остаток 5; 2⁶/9 даёт остаток 1 и т.д.

Ну а дальше вроде всё понятно.

[Lazer]

А доказывать мат. прогрессию кто будет? Почему там будет именно 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4 и т. д., а не 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4, 2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 4.............2, 4, 8, 7, 5, 1, 2, 5?

[General]

А потому, что следующий остаток однозначно определяется предыдущим, и только им