новые задачи 2

[николай]

 у нас есть число *. при делении на 14 остаток 13
                             при делении  на 13 остаток 12
                             при делении на 12 остаток 11

определите наименьшее число *



  доволно известные примеры на повтор цифр в числе:

 2178  х4 = 8712
 1782  х4 = 7128

попробуйте свои силы в этих примерах:

 **5* х 7 = *5**
 ***5*х 4 =  *5***                                         

[fanta21]

"Восточный экспресс".
Продолжение известной логической игры «загадка Эйнштейна»  для поклонников детективного жанра.

ссылка на игру: http://www.teamsmart.ru/games/game-8.html

[gotmike]

 у нас есть число *. при делении на 14 остаток 13
                             при делении  на 13 остаток 12
                             при делении на 12 остаток 11

определите наименьшее число *

                                      

Пусть у - искомое число
Тогда:
y = 14*x1 + 13
y = 13*x2 + 12
y = 12*x3 + 11

где x1, x2, x3 - произвольные числа (правда целые)

Если прикинуть на графике (рисовать мне лень) все эти три прямые, то будет понятно, что очевидное  решение (при  x1=x2=x3 = -1, y = -1) является единственным
(Прямые различные, т. к. различны тангенсы углов наклона, а различные прямые не могут иметь более одной точки пересечения)

ОТВЕТ: -1 единственное решение.

[GENERATION]

А как вы объясните числа 1091, 2183, 3275, 4367, 5459, 6551, 7643, 8735, 9827, 10919, 12011, 13103, и.т.д.?
В вашем доказательстве есть один существенный промах, может сами его найдёте?

[gotmike]

 доволно известные примеры на повтор цифр в числе:

 2178  х4 = 8712
 1782  х4 = 7128

попробуйте свои силы в этих примерах:

 **5* х 7 = *5**
 ***5*х 4 =  *5***                                          

1359 x 7 = 9513
23958 x 4 = 95832

[gotmike]

Да, нестыковочка. Бывает !!!

[gotmike]

У меня наименьшее положительное совпало с Вашим 1091.

Тока разумеется я не те точки за решения брал. Вечером выложу поподробнее как нашел. Работа все-таки

[GENERATION]

Поподробнее понятно - так как разница делителей и остатков всегда единица, то числа - произведение разложений делителей на простые множители минус единица, т.е. 14*13*6-1, и повторяются через каждые 1092. Интереснее общий случай для чисел n1, m1, k1 и остатков n2, m2 и k2

[gotmike]

Ладно, расскажу как я решал.
Начертил три эти прямые.
взял первую прямую y = 13 (первая целочисленная пара на прямой y= 14x1+13 считая от точки пересечения) и нашел точки пересечения с этими прямыми
получилось x11 = 0, x21 = 1/13 и x31 = 1/6

рассмотрел длины
dx11 = x11-x10 = 1
dx21 = x21-x20 = 1/13 + 1 = 14/13
dx31 = x31-x30 = 1/6 + 1 = 7/6

наименьшее общее кратное знаменателей 13*6 = 78

т. е
x1= 77; x2=83; x3=90;
y1= y2 = y3 = 14*77 + 13 = 1091

Не знаю, все ли гладко
И у вас разумеется проще, но я решал так.