Автор Тема: Восстановить треугольник по его трём 1) медианам; 2) высотам; 3) биссектрисам.  (Прочитано 314 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 380
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Придумалась такая тройная задача.

Имеется треугольник АВС. В нём построили три 1) медианы; 2) высоты; 3) биссектрисы. Затем измерили длины этих трёх 1) медиан; 2) высот; 3) биссектрис. Затем всё стёрли, и нарисовали три отрезка a, b и с длиной как эти три 1) медианы; 2) высоты; 3) биссектрисы.

Поручение: Восстановить треугольник по этим трём отрезкам a, b и с, равным

1) медианам;
2) высотам;
3) биссектрисам.

============
П.С. Для случая медиан я сам уже решил. Оказалось не сложно. Остальные через недельку-две, когда время будет.
« Последнее редактирование: 07 Январь 2020, 18:32:59 от Tugrik »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail


============
П.С. Для случая медиан я сам уже решил. Оказалось не сложно. Остальные через недельку-две, когда время будет.

Ну, вторая-то задача  -  такая же хрестоматийная, как и первая  ( если речь идет о построении циркулем и линейкой)  .  А вот третья  - совсем другая категория . Тут циркулем и линейкой не обойдешься. :)
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 380
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
П.С. Для случая медиан я сам уже решил. Оказалось не сложно. Остальные через недельку-две, когда время будет.
Не выдержал и решил вторую с высотами.
   По зрелому размышлению, если сообразить, за что уцепиться, что, в общем-то, не сложно, с высотами решается тоже весьма просто. Но совсем иначе, чем с медианами. По крайней мере я эти обе задачи решал совсем по-разному.
    Таким образом, как мне представляется, с медианами и высотами - задачи уровня 8-го класса городской олимпиады (с населением типа миллион).

С биссектрисами, хрипунов говорит, засада. Ну, значит, поковыряюсь как-нибудь потом.
« Последнее редактирование: 08 Январь 2020, 16:22:33 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Пока времени не было думать для медиан решил в лоб, методом "с потолка" работает, но надо разобраться почему.

Пусть дано 3 медианы ma, bb, mc. Пусть ma>mb

1. Строим произвольную прямую х.
2. На прямой выбираем произвольную точку Z.
3. С центром в Z строим две окружности радиусами 2ma/3 и 2mb/3.
4. Отмечаем точки пересечения с прямой х.
5. Определяем середины отрезков 2(ma+mb)/3 и 2(ma-mb)/3 принадлежащих х, пусть это будут точки M и N.
6. На отрезке MN как на диаметре строим окружность.
7. Строим еще одну окружность с центром в Z и с радиусом mc/3., точка пересечения окружностей (6) и (7)  будут основаниями mc.
8. maили  mb достраиваем на х, учитывая что Z является центром пересечения медиан (барицентром) искомого треугольника.

Интересно, что диаметр окружности ГМТ по которым будут двигаться все середины отрезков образованные свободными концами двух других отрезков,  при закреплении одного отрезка и вращение другого с концом закрепленным в одном из концов первого будет равняться величине меньшего из отрезков) то есть в нашем случае величине меньшей медианы.
Доказывается легко D=a+b-(a+b)/2-(a-b)/2=b, а вот над причиной траектории центра отрезка надо подумать, в принципе наблюдение интересное, лично для меня. В плохой памяти есть свои преимущества, я могу много раз на день изобретать велосипед)
« Последнее редактирование: 08 Январь 2020, 16:47:03 от Race »

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 380
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
В Вашем решении буду разбираться потом. Пока, вот, моё.

У меня подход был такой же как у Вас - рисовать ГМТ середин сторон. Изначальный рисунок содержал много окружностей и сам пробный треугол. Из него было ясно, как получаются ГМТ - круги. Потом я убрал все лишние линии, стало непонятно, но получился вполне лаконичный рисунок с по сути всего двумя кругами с радиусами как короткие концы других медиан с центрами на третях зелёной медианы .

То, что что концы длинных частей медиан (они же суть вершины треугла) движутся по кругам - это просто по построению. А то, что середины сторон движутся по кругам - это ясно из гомотетичности (с коэффициентом два) конца отрезка и его середины. Т.е. если один конец отрезка закреплён (у меня это верхний конец зелёной медианы), а второй движется по некой округе (ГМТ длинного конца другой медианы), то ясен пень и середина этого отреза будет двигаться по округе с радиусом в 2 раза меньше. Теорема Раце-Странника, если угодно.
« Последнее редактирование: 08 Январь 2020, 17:34:48 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Прикольные параллелограммы у Вас получились. Антересно, у меня в другую сторону сразу мысля убегает.

Вот какую красоту вы настроили. Если честно, я первый раз с таким сталкиваюсь, как и с наблюдениями при моем решении... Хотя это, явно же, что самые азы азов геометрии.

Получили три параллелограмма, которые в сборке дают отличную иллюзию объемного параллелепипеда.
Доказательство, кстати, на виду, обычная средняя линия треугла....
« Последнее редактирование: 08 Январь 2020, 18:31:43 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Теперь касательно т-мы Р-С. В той теореме я вращал только подобные фигуры. В данном же случае полученные треугольники нив коем случае не подобны. Тем не менее построение работает. Ваше, как оказалось, имеет строгое и элементарное доказательство без применения вышеупомянутой т-мы, а вот с моим вопрос открыт. Что интересно по окружности буде двигаться и любая другая пропорционально расположенная на "стороне" треугольника точка. Проверил.

А вот упомянутая Вами гомотетичность является достаточно строгим доказательством моего решения) В этом случае свободный конец куска медианы будет выступать в роли центра гомотетии, спасибо!
« Последнее редактирование: 08 Январь 2020, 18:48:53 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Интересно посмотреть Ваше решение с высотами. Я сдался, Атонасян, судя по номеру задачи, засовывает подобное построение в конец 9го класса.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 380
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Интересно посмотреть Ваше решение с высотами. Я сдался, Атонасян, судя по номеру задачи, засовывает подобное построение в конец 9го класса.
Я сначала тоже думал труба. А потом - эврика! Как просто! На поверхности! Есть там некие очевидные связи между высотами и сторонами. Их используйте. Есть три высоты, которые связаны между собой и со сторонами - значит есть и инфа о связи между всеми тремя сторонами через высоты.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Я сначала тоже думал труба. А потом - эврика! Как просто! На поверхности! Есть там некие очевидные связи между высотами и сторонами. Их используйте. Есть три высоты, которые связаны между собой и со сторонами - значит есть и инфа о связи между всеми тремя сторонами через высоты.
Я уже два построения знаю, одно, как выразился hripunov, хрестоматийное (Атонасян, Колмагоров, Киселев и так далее и тому подобное), второе более интересное, хоть и для случая когда из высот можно сшаманить треугольник.
Хрестоматийное через формулы площади и построение пропорционального отрезка. Я тоже таким путем шел изначально, но слишком заумным показалось.

Оффлайн Tugrik

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 380
  • От великого до смешного 237 лет
    • Просмотр профиля
Хрестоматийное через формулы площади и построение пропорционального отрезка. Я тоже таким путем шел изначально, но слишком заумным показалось.
Почему заумным? Одну сторону пробного треугла  полагаем равной одной из высот, вторую сторону - другой из высот, и третью сторону ставим равной типa hahb/hc - получили подобный искомому треугольник.
« Последнее редактирование: 09 Январь 2020, 04:41:22 от Tugrik »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Это классическое решение) А есть еще и решение головоломка) Правда с ограничением, в котором сразу подсказка к решению.