Автор Тема: Задача про клетки. Помогите.  (Прочитано 3850 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн YANA_D

  • Новичок
  • *
  • Сообщений: 17
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Задача про клетки. Помогите.
« : 09 Февраль 2009, 22:09:33 »
Для экспертиментов на волками изготовили двухэтажную клетку по 9 секций на каждом этаже. Для волков предназначались 16 секций (по 8 на
этаж), а две центральные были предназначены для артефактов. По условию опыта волков следовало разместить так чтобы:
1) были заняты все 16 секций
2) в каждой секции было не более 3 волков
3) на каждой из 4 боковых сторон клетки было ровно по 11 волков
4) в верхнем этаже было бы размещено вдвое больше волков, чем в нижнем.
Три из волоков узнав об этом убежали, несмотря на это, всех оставшихся разместили согласно условиям. Сколько волков изначально было? Как их собирались рассадить? Как рассадили? Найди все ответы (количества волков).

Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача про клетки. Помогите.
« Ответ #1 : 13 Июнь 2009, 18:56:35 »
Каждый из двух этажей клетки можно представить в виде квадрата:
                     S1
       -----------------------
      !   x1      x2      x3   !     
      !                             !
 S4 !   x8     //////    x4  ! S2
      !                             !
      !   x7      x6      x5    !     
       ------------------------
                     S3

x1; x2;…;x8 – количество волков в соответствующей секции (может равняться  1, 2 или 3)
S1; S2;S3;S4 – количество волков по каждой из сторон квадрата. (S1=x1+x2+x3 и т.д.)

Решение задачи основано на формуле:
x1+x2+…+x8=S1+S2+S3+S4 – (x1+x2+x3+x4)
Иными словами, чтобы получить сумму всех элементов данного квадрата, надо сложить суммы по каждой его стороне, и вычесть сумму угловых элементов.

Описанная в задаче клетка представляет собой два таких квадрата (2 этажа). Сумма элементов по боковым сторонам клетки =11. Применяя формулу, определим общее количество волков в клетке:

Общ.кол-во = 11+11+11+11 – кол-во в угловых секциях

Всего угловых секций 8. В них можно рассадить минимально – 8 волков, максимально – 8*3=24 волка.
Таким образом получаем, что общее количество волков может быть от 44-24=20 до 44-8=36.
По условию задачи, на верхнем этаже в 2 раза больше волков, чем на нижнем. Следовательно, общее количество волков кратно 3. Получаем что всего волков может быть: 21; 24;27;30;33 или 36. Проверим каждый вариант:
1.   Общее количество 21. На нижнем этаже 21/3=7. Но секций на нижнем этаже 8. Значит разместить 21 волка по условию задачи не получится.
2.   Общее количество 24. На нижнем этаже –8, на верхнем – 16. Сумма волков по сторонам нижнего этажа –3 по каждой стороне. Сумму волков по сторонам верхнего этажа вычисляем 11-3=8.

Нижний этаж   (8 волков)              Верхний этаж (16 в.)
                     3                                                    8         
       -----------------------                     -----------------------
      !    1        1         1   !                    !    ?        ?       ?    !
      !                              !                    !                            !
  3  !    1      //////     1    !  3            8  !    ?     //////     ?   !  8 
      !                              !                    !                            !
      !    1        1       1     !                    !    ?        ?        ?   !
       ----------------------                       ----------------------
                     3                                                  8

Общ.кол-во волков верх.эт.= 8+8+8+8-кол-во в угл.секц.
кол-во в угл.секц.=32-16=16 волков.
Т.е  все 16 волков должны быть размещены в угловых секциях, что противоречит условию задачи (пустых секций быть не должно). Значит, 24 волка невозможно разместить в клетке по заданным условиям.
3.   Общее количество 27. На нижнем этаже –9, на верхнем – 18. На нижнем этаже в 7 секций помещаем по 1 волку, в одну попадает 2. Это может быть либо угловая секция, либо не угловая. Рассмотрим каждый из этих вариантов.

Нижний этаж   (9 волков)              Верхний этаж (18 в.)
                     3                                                    8         
       -----------------------                     -----------------------
      !    1        1         1   !                    !    3        2       3    !
      !                              !                    !                            !
  3  !    1      //////     1    !  4            8  !    2     //////     1   !  7 
      !                              !                    !                            !
      !    1        1       2     !                    !    3        1        3   !
       ----------------------                       ----------------------
                     4                                                   7

Сумму волков по сторонам верхнего этажа вычисляем.
Общ.кол-во волков верх.эт.= 7+7+8+8-кол-во в угл.секц.
кол-во в угл.секц.=30-18=12 волков.
12 волков в 4 угловые секции можно рассадить только по 3.
Количество волков в неугловых секциях рассчитываем: от сумм по каждой стороне вычитаем угловые секции.
Получаем, что 27 волков можно рассадить в клетку согласно условию задачи.
Можно, конечно рассмотреть вариант, когда 2 волка на нижнем этаже помещены не в угловую секцию (такой вариант, к стати, не подходит), но, считаю, это излишне.

4.   Общее количество 30. На нижнем этаже –10, на верхнем – 20. На нижнем этаже в 7 секций помещаем по 1, в одну попадает 3(в угловую или не угловую), либо в 6 секций помещаем по 1 волку, в две по 2(так же проверяем разные варианты). Рассмотрим каждый из этих вариантов.

Нижний этаж   (10 волков)              Верхний этаж (20 в.)
                     3                                                    8         
       -----------------------                     -----------------------
      !    1        1         1   !                    !    3        3       2    !
      !                              !                    !                            !
  3  !    1      //////     1    !  5            8  !    3     //////     3   !  6 
      !                              !                    !                            !
      !    1        1        3    !                    !    2        3       1    !
       ----------------------                       ----------------------
                      5                                                   6

Общ.кол-во волков верх.эт.= 6+6+8+8-кол-во в угл.секц.
кол-во в угл.секц.=28-20=8 волков.
кол-во в неугловых секц. =общ. кол-во верх.эт. – кол-во в угл. секц.=20-8=12.
12 волков в 4 неугловые секции можно рассадить только по 3.
Количество волков в угловых секциях рассчитываем.
Получаем, что 30 волков можно рассадить в клетку согласно условию задачи.
(Не знаю нужно ли рассматривать остальные варианты размещения волков по нижнему этажу)
5.   Общее количество 33. На нижнем этаже –11, на верхнем – 22. 

Нижний этаж   (11 волков)              Верхний этаж (22 в.)
                     4                                                    7         
       -----------------------                     -----------------------
      !    1        2        1    !                    !    2        3       1    !
      !                              !                    !                            !
  3  !    1      //////     2    !  4            8  !    3     //////     3   !  7 
      !                              !                    !                            !
      !    1        2        1    !                    !    1        3       1    !
       ----------------------                       ----------------------
                      4                                                   7

Минимальное значение суммы сумм волков по каждой стороне клетки нижнего этажа (S1+S2+S3+S4) будет, если рассадить в угловые секции по 1 волку. При этом сумма сумм по каждой стороне верхнего этажа будет максимальна.
Общ.кол-во волков верх.эт.= сумма сумм по кажд. стор. верх. эт.-кол-во в угл.секц.
Общ.кол-во волков верх.эт.= 7+7+7+8-кол-во в угл.секц.
кол-во в угл.секц.=29-22= 7волков.
кол-во в неугловых секц.=22-7=15 волков.
Неугловых секций у нас 4 и рассадить 15 волков согласно правилу в них не получится.
В случае иного размещения волков по нижнему этажу (если в угловые секции посадить > 1 волка), сумма сумм волков по каждой стороне нижнего этажа будет меньше, чем 29. А значит на неугловые секции придется еще больше волков.
Таким образом, доказываем, что 33 волка нельзя рассадить в клетку согласно условию задачи.
6.   Аналогично п. 5 доказываем, что 36 волков так же невозможно разместить в клетке согласно правилу.

Вывод: В клетку согласно условию можно разместить 27 и 30 волков. Иными словами, сначала их было 30, после того, как 3 сбежало, стало 27. Варианты размещения см. выше.


Оффлайн ERUDIT

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 447
    • ICQ клиент - 388515550
    • Просмотр профиля
    • ЭРУДИТОВ НЕТ? Докажи, что эрудиты есть!
    • E-mail
Re: Задача про клетки. Помогите.
« Ответ #2 : 08 Июль 2009, 23:53:42 »
ira-sm ого скока настрочил...

Молодец! Супер решение!

Сам написал или скопипастил???


Оффлайн ira-sm

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 320
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задача про клетки. Помогите.
« Ответ #3 : 09 Июль 2009, 17:08:15 »
ira-sm ого скока настрочил...

Молодец! Супер решение!

Сам написал или скопипастил???


Спасибо за комплимент!
Это я столько настрочилА.
Если б можно было б "скопипастить", я б скорее ссылку дала бы.
Сейчас вот думаю над играми с монетами в свободное от свободного времени время  ???