Автор Тема: Задачи на построение  (Прочитано 1735 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #15 : 02 Октябрь 2019, 13:31:06 »
Я пока не буду смотреть Ваш рисунок и читать. Я хочу ещё повозиться и найти решение именно из ума, т.е. с предварительными идеей и планом, а не методом тыка и послед. доквом.
Вы методом тыка нашли 99% авторское решение)

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #16 : 02 Октябрь 2019, 13:55:53 »
6. а) Даны две окружности S1 и  S2, пересекающиеся в точках А и В. Проведите через точку А прямую l, отрезок которой заключенный внутри окружностей S1 и  S2 имеет данную длину а.
    б) Постройте треугольник , который равен данному и стороны которого проходят через 3 заданные точки.

7. Даны две окружности S1 и  S2. Проведите прямую l:
   а)  параллельную данной прямой l1 и такую, что S1 и  S2 высекают на l равные хорды;
   б)  параллельную данной прямой l1 и такую, что S1 и  S2 высекают на хорды, сумма (разность) которых равна данному отрезку a.
   в) проходящую через данную точку А и такую, что S1 и  S2 высекают на ней равные хорды.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #17 : 02 Октябрь 2019, 14:00:30 »
Я пока не буду смотреть Ваш рисунок и читать. Я хочу ещё повозиться и найти решение именно из ума, т.е. с предварительными идеей и планом, а не методом тыка и послед. доквом.
Вы методом тыка нашли 99% авторское решение)
"Вы методом тыка нашли 99% авторское решение)" - значит автор сам решал методом тыка. Такое решение не интуитивное.

==============

Так та задача, значит, была номер 5, а не 6?
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #18 : 02 Октябрь 2019, 14:05:30 »
"Вы методом тыка нашли 99% авторское решение)" - значит автор сам решал методом тыка. Такое решение не интуитивное.

==============

Так та задача, значит, была номер 5, а не 6?
Да, опечатка, я поправил везде. Стараюсь соблюдать авторскую нумерацию, та как первое издание труда вышло аж в 55 году)

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #19 : 02 Октябрь 2019, 14:50:48 »
6. а) Даны две окружности S1 и  S2, пересекающиеся в точках А и В. Проведите через точку А прямую l, отрезок которой заключенный внутри окружностей S1 и  S2 имеет данную длину а.
Проверьте условие, плиз. Небось, опять опечатка. Или поясните, плиз.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #20 : 02 Октябрь 2019, 18:36:52 »
Проверьте условие, плиз. Небось, опять опечатка. Или поясните, плиз.
По поводу 5й задачи, все решения автора не интуитивные, у него явно школа Киселёва, перед построением идет геометрическое решение, обязательно с доказательством, достаточно строгим, только на основании решения идет непосредственное построение.
« Последнее редактирование: 02 Октябрь 2019, 18:38:56 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #21 : 03 Октябрь 2019, 13:53:23 »
Решение №6 а - на рисунке. Последовательность построения - по радуге; серые линии помогают понять доказательство.

№6-б можно решить используя №6а : нужно построить на парах заданных точек три дуги, соответствующие  опирающимся на них углам треугольника, потом построить по методу задачи 6а  одну из сторон, так, чтобы прилегающие к ней углы касались построенных для них дуг...
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #22 : 03 Октябрь 2019, 14:19:31 »
hripunov,

да, Вы совершенно точно воспроизвели авторское решение 6-а, если мне не изменяет память 6-б мы уже решали тут ранее, или что то очень на неё похожее, правда и использовали не способ из 6-а.

Доказать решение не представляет сложности, если вспомнить о том, что перпендикуляр опущенный из центра окружности на её хорду, делит хорду на две равные части.
« Последнее редактирование: 03 Октябрь 2019, 14:25:57 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #23 : 03 Октябрь 2019, 21:43:36 »
hripunov,

да, Вы совершенно точно воспроизвели авторское решение 6-а, если мне не изменяет память 6-б мы уже решали тут ранее, или что то очень на неё похожее, правда и использовали не способ из 6-а.

Доказать решение не представляет сложности, если вспомнить о том, что перпендикуляр опущенный из центра окружности на её хорду, делит хорду на две равные части.
Тут мы решали задачи, где было нужно какую-нибудь фигуру - квадрат, равносторонний треугольник , или ромб с заданными углами - вписать между данными точками. При этом размер получившейся фигуры либо значения не имел, либо определялся каким-нибудь побочным фактором.  А  задачу, аналогичную 6-б, где  длина стороны наперед задана - я не припоминаю.  Хотя, возможно и  решали при моем отсутствии.   В любом случае 6а и 6б - близкородственные задачи. А  №7  вроде бы попроще ( по крайней мере линий совсем мало требуется) . :beer:
« Последнее редактирование: 03 Октябрь 2019, 21:59:41 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #24 : 04 Октябрь 2019, 00:18:51 »

Тут мы решали задачи, где было нужно какую-нибудь фигуру - квадрат, равносторонний треугольник , или ромб с заданными углами - вписать между данными точками. При этом размер получившейся фигуры либо значения не имел, либо определялся каким-нибудь побочным фактором.  А  задачу, аналогичную 6-б, где  длина стороны наперед задана - я не припоминаю.  Хотя, возможно и  решали при моем отсутствии.   В любом случае 6а и 6б - близкородственные задачи. А  №7  вроде бы попроще ( по крайней мере линий совсем мало требуется) . :beer:

Тут пока слишком сложных не было) Дальше будет интереснее  ::)

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #25 : 23 Октябрь 2019, 13:23:34 »
Сегодня вдруг вспомнил, что у меня осталась недорешённая (т.е. без основания) задача 5
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11175.msg84169.html#msg84169
Посмотрел на неё свежим взглядом, и сообразил, наконец, как моё решение можно обосновать по-простому. Потом посмотрел на приведённое Вами обоснование в
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11175.msg84221.html#msg84221
и увидел, что, по сути, моё обоснование очень похоже на приведённое Вами – основано на том же принципе. Но логика и тактика, всё-таки, весьма отличаются. И рассуждение у меня прямое, а не задом наперёд, что, как мне кажется, лучше. Да и покороче оно. Поэтому привожу его ниже.

Пусть точка X’1 – это ползунок, ползающий по заданной окружности.

Суть моего обоснования основана на том, что надо доказать (а это очень легко), что если из точки G (у Вас это точка F’) провести прямую GK, параллельную BX’1 (обе зелёные), то точка К пересечения прямых GK и AX’1, при движении ползунка X’1 по кругу, тоже будет двигаться по некоему кругу (серый пунктирный). Ну а точки Е1 и Е2, где этот круг пересечёт хорду CD – искомые.

То, что ГМТ точки К – это круг, следует из того, что угол /_GKA не меняется, ибо он всегда равен углу /_BX’1A (ибо стороны этих углов параллельны по построению), который, в свою очередь, тоже не меняется, ибо он есть вписанный в заданный круг. И, раз /_GKA не меняется, то он тоже вписан в некий круг, а именно построенный на точках G, A и K. Т.е. нам достаточно построить круг на точках G, A и какой-нибудь точке K.

==================

Следует заметить, что отрезок типа BF’ на Вашем рисунке можно отложить и от точки А, а не В.
Также следует заметить, что требование отложить отрезок BF’ на Вашем рисунке именно внутрь окружности не есть принципиальное. Если этот отрезок отложить наружу окружности, то продолжения хорд АХ и ВХ отсекут нужные отрезки на продолжении хорды CD.
« Последнее редактирование: 23 Октябрь 2019, 15:20:11 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #26 : 25 Октябрь 2019, 14:19:23 »
7. Даны две окружности S1 и  S2. Проведите прямую l:
   а)  параллельную данной прямой l1 и такую, что S1 и  S2 высекают на l равные хорды;
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Задачи на построение
« Ответ #27 : 25 Октябрь 2019, 14:34:40 »
Ygrek,
 :bravo: :beer:

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #28 : 28 Октябрь 2019, 13:39:41 »
7. Даны две окружности S1 и  S2. Проведите прямую l:
   
   в) проходящую через данную точку А и такую, что S1 и  S2 высекают на ней равные хорды.

www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,11175.msg84224.html#msg84224

Задача 7в). Описание построения. Построение не от балды, а по идее. Обоснование имеется, если что.

1) Строим синий круг с центром в Mid(O1,O2) и идущий через центры S1 и S2.
2) Из данной точка А ведём произвольный бурый луч b такой, чтобы пересёк круг S1 (и чтобы круги из пункта 3) пересеклись). Он даст точки В и С на круге S1.
3) Ставим два зелёных пунктирных круга c радиусами = S2 и с центрами в точках В и С. Они пересекутся в точках D и E. Эти точки D и E, при повороте луча b, будут иметь ГМТ лиловый круг. За сим,
4) Ставим лиловый круг с центром в точке А. Это ГМТ точек D и E.
5) На пересечениях G (в данном случае не нужен) и F синего круга 1) и лилового круга 4) ставим красный круг с радиусом =S2.
6) Пересечения красного круга 5) с данным кругом S1 точки X и X’ дадут искомую хорду, равную хорде YY’.
======================

Примечание. На данном рисунке точка А выбрана так, что возможно только одно решение. В общем случае возможны ноль, одно или два решения. Когда возможны два решения, вторая из двух точек G и F (здесь это точка G) вступает в игру.
« Последнее редактирование: 28 Октябрь 2019, 14:13:34 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Задачи на построение
« Ответ #29 : 29 Октябрь 2019, 12:48:29 »
7. Даны две окружности S1 и  S2. Проведите прямую l:

   б)  параллельную данной прямой l1 и такую, что S1 и  S2 высекают на хорды, сумма (разность) которых равна данному отрезку a.
Не знаю, чо-то сложность задач 7б) [а задача 7а) есть частный случай задачи 7б)] и 7в) несоизмеримо разная. Задачи 7а) и 7б) решаются сходу просто рисованием за 5 минут. А над 7в) я изрядно подолбался. Но, может быть, что 7в) тоже можно решить проще, а я не нашел простого решения.

Задача 7б) по сути решается также как и 7а) только образ зелёного круга S2 надо сместить вбок от центра на расстояние а/2. Тогда получается, что два пересечения кругов S1 и пунктирного образа S2 находятся на разном уровне и дают, соответственно, два решения (две линии) l и l’. В данном случае линия l даёт что красная хорда на S1 больше, чем красная хорда на S2 на расстояние а. А линия l’ даёт что сумма этих хорд равна а.
При других сочетаниях вводных данных может получиться, что линия l даст что хорда на S1 больше, чем хорда на S2 на величину а, а линия l’ – наоборот, что хорда на S2 больше, чем хорда на S1 на величину а.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.