Автор Тема: Многоугольник с вершинами в квадратной сетке  (Прочитано 447 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Есть многоугольник площадью S , все вершины которого расположены в узлах сетки из квадратных ячеек 1х1. Любая прямая, отсекающая от него кусок  площадью S/2, проходит через точку С. 
Обязательно ли точка С является центром тяжести этого многоугольника?
 Докажите свое утверждение.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Если многоугольник может не быть односвязным то нет

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
С2h5oh,
а можете подсказать любую плоскую фигуру имеющую больше одного центра симметрии? Судя по первоисточнику такие должны быть, но придумать не получается.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Больше одного центра симметрии?

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
С2h5oh,
а можете подсказать любую плоскую фигуру имеющую больше одного центра симметрии? Судя по первоисточнику такие должны быть, но придумать не получается.
y=sinx
y=x

На сфере Римана (плоскость - частный случай Римановой геометрии).
Типа бесконечная периодческая фигура (Типа бесконечная пчелинные соты (шахматная доска), покрывающая всю сферу (плоскость), у которой каждый период имеет центр симметрии.
« Последнее редактирование: 20 Июль 2019, 16:29:13 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
c2h5o6,
Да, задачник 56 года, если память не изменяет, то условие звучит так:
Придумайте фигуру состоящую из 3 прямых и имеющую при этом хотя бы один центр симметрии.
Такую фигуру я придумал, но возник вопрос, касательно плоских фигур с 2 такими центрами.

Ygrek,
А с 2 или 3мя?
У вашей фигуры (соты), получается бесконечно много центров симметрии

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Race, Вы хотите придумать бесконечную плоскую фигуру имеющую более одного, но не бесконечное число центров симметрии?

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
c2h5o6,
Да, задачник 56 года, если память не изменяет, то условие звучит так:
Придумайте фигуру состоящую из 3 прямых и имеющую при этом хотя бы один центр симметрии.
Такую фигуру я придумал, но возник вопрос, касательно плоских фигур с 2 такими центрами.

Ygrek,
А с 2 или 3мя?
У вашей фигуры (соты), получается бесконечно много центров симметрии

Невозможность существования 2, 3, 4 и тд < ∞ центров симметрии легко доказать.

Допустим есть 2 центра симм.  - один слева, а второй - справа. Тогда тот, который слева, должен иметь свой симметричный образ относительно правого центра сим. Значит их уже 3, а не 2. И т.д.. Т.е. самый крайний справа ЦМ должен "отражать" все остальные, которые слева от него. Но тогда он уже не станет самым крайним справа.
« Последнее редактирование: 20 Июль 2019, 19:59:50 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Если многоугольник может не быть односвязным то нет
A ecли многоугольник односвязный, без внутренних пустот?
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
c2h5oh,
можно и конечную. Правда после доказательства Ygreka меня терзают смутные сомнения.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Односвязный

c2h5oh,
можно и конечную. Правда после доказательства Ygreka меня терзают смутные сомнения.
очевидно что это невозможно
(во всяком случае для меня очевидно):)

но если нужно доказательство то завтра, спать хочу.




Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Пусть на плоскости задано некоторое ограниченное множество точек. Для любого направления существуют две параллельные прямые которые ограничивают это множество (типа точных верхней и нижней грани в матанализе). Если множество имеет центр симметрии O, то он будет находиться посередине между этими прямыми. Если есть ещё один центр O' то тоже самое будет верно и для него и прямая OO' будет параллельна ограничивающим прямым и проходить посередине между ними. Но это должно выполняться при любом выборе направления, следовательно точки O и O' совпадают.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Ygrek, c2h5oh,
Спасибо!
Вот и пойми эти старые задачник.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Цитировать
Ygrek, c2h5oh,
Спасибо!
Вот и пойми эти старые задачник.

А что там понимать?! Вопрос изначально философский, а не математический.  А любая философская теория не может рассматриваться в отрыве от времени появления. В 56м году математики вполне могли еще оставаться в плену лозунга " Первый сокол (центр) - Ленин, второй сокол (центр) - Сталин.
Я и сам бы не прочь увидеть фигуру с двумя центрами симметрии. Только для этого, скорее всего, мне надо попасть в окрестности какой-нибудь черной дыры ( предварительно разложившись на элементарные частицы), чтобы пространство исказилось "в нужном ключе". :D
А изначальную задачу про многоугольник до конца будем добивать? ;)
« Последнее редактирование: 22 Июль 2019, 03:39:39 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Ygrek, c2h5oh,
Спасибо!
Вот и пойми эти старые задачник.
Не могли бы Вы, всё-таки, буква в букву переписать задание (всю задачу про плоскую фигуру с 2-мя ЦС) из того задачника? А лучше фотографию текста. Мало ли что-нибудь упустили. И что за учебник? Для младших школьников или по аналитической геометрии?

Теоретически, в некой специальной системе координат типа цилиндрической (z, φ), где z - вертикальная ось, φ - угол поворота, а радиус R фиксирован, боковую поверхность цилиндра можно считать обобщённой плоскостью.
   С точки зрения математики, бок. пов. цилиндра ничем не отличается от евклидовой плоскости, и (z, φ) - это те же (x,y). Тогда периодическая фигура типа синусоиды, у которой на боковой поверхности цилиндра укладывается целое число периодов, например, 2, будет иметь 2 ЦС. Точнее, эти ЦС будут совпадать с беск. числом других ЦС и, строго говоря, их будет всё равно ∞. Но, если задать условие-ограничение, что 0°<φ<360°, то их будет только 2. При условии-ограничении, что 0°<φ<360°, точки 0° и 360° буду склеивать поверхность цилиндра и замыкать его, так же как и точки -∞ и +∞ на обычной оси х.
При преобразовании системы координат из декартовой в цилиндрическую точка (координата φ) 0° будет соответствовать х=-∞, а точка φ=360° будет соотв. х=+∞. Т.е. такое нелинейное вытягивание отрезка на оси х, на котором помещено два периода косинусоиды, что середина отрезка останется на нуле, а края отрезка убегут в +/- ∞. И тогда эти два периода косинусоиды займут всю ось х. Но, повторяю, это будет уже не линейная координата х, а под ней будет стоять замена линейной декартовой х на цилиндрическую нелинейную.
« Последнее редактирование: 22 Июль 2019, 08:57:13 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.