На плоскости задана пара точек А и В, прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек и некий отрезок СД.
При помощи циркуля и линейки построить окружность проходящую через точки А и В и отсекающую от прямой а хорду равную СД.
Существенно другого решения не получилось, но зато я изложу здесь идею.
Самое простое для этой задачи, конечно, это аналитическое решение, где просто надо решить квадратное уравнение, возникающее из формулы для степени точки, и изобразить полученный корень уравнения геометрически. Но, раз уж тут всем всегда и непременно нужно как можно более чисто геометрическое решение, то, вот более чисто геометрическое решение.
Идея более чисто геометрического решения – трансформация отрезка АВ в отрезок CD с сохранением привязки отрезка CD к точке Е пересечения данной прямой
а и прямой, на кот. лежит отрезок АВ, и, в частности, чтобы синяя окружность (ГМТ точек касания) была для них общей.
Замечание: на рисунке 1 приведено много линий, не нужных для построения, но полезных для понимания. На рис. 2 оставлены только необходимые для построения линии.1) Из свойства секущих следует, что для всего семейства окружностей, проходящих через две точки А и В, в том числе и искомой окружности, их точки касания “TangE” касательной, идущей из точки Е, будут принадлежать синей окружности (см. рис.). Иными словами, синяя окружность – это ГМТ точек касания типа TangE касательных из точки Е для всего семейства окружностей, проходящих через точки А и В. Это для пары точек А и В. А нам надо как-то от пары точек А и В перейти к паре точек C и D.
2) Поскольку как пара точек А и В, так и пара точек C и D должны принадлежать одной и той же искомой окружности, то нам надо установить некую связь между этими парами точек. Эта связь – синяя окружность.
Другими словами, как чёрная окружность на точках А и В (т.е. с диаметром |AB|) имеет точку касания TangE на синей окружности, так и бурая окружность с диаметром |CD| должна быть такая, чтобы она имела точку касания Tang’E на синей окружности.
3) Чёрная окружность, построенная на диаметре АВ, имеет радиус |АВ|/2 и точку касания TangE. А расстояние от её центра MidAB до точки Е – суть гипотенуза прямоугольного треугла с катетами |MidAB TangE| = |AB|/2 и [E TangE].
Значит для пары точек C и D, аналогично, надо построить такую окружность на диаметре C’D’, у которой радиус будет |CD|/2 и расстояние от её центра MidC’D’ до точки Е должно быть гипотенузой прямоугольного треугла с катетами |FG|=|CD|/2 и [EF] = [E TangE]. Эту гипотенузу [MidC’D’ E] мы находим поставив перп |FG| = |CD|/2. |MidC’D’ E| = |EG|.
Таким образом, точки A и B перейдут в точки C’ и D’, соотв., как показано стрелками.
4) Дальше найденные точки MidC’D’, C’ и D’ переносим на данную прямую
а в точки H, C’’ и D’’, соотв.
П.С. Основополагающую идею хрипунова я не понимаю. Может Раце мне объяснит?
