Автор Тема: Окружность и прямая  (Прочитано 263 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Окружность и прямая
« : 08 Июль 2019, 19:11:38 »
На плоскости задана пара точек А и В, прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек и некий отрезок СД.

При помощи циркуля и линейки построить окружность проходящую через  точки А и В и отсекающую от прямой а хорду равную СД.

Помниться  аналогичную задачу давал хрипунов, только там хорду нужно было отсечь от окружности окружностью) Приятного решения.

Аналитическое решение прямо просится, потому будем искать самое простое решение.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #1 : 09 Июль 2019, 02:42:55 »
Тут работает свойство неизменного значения произведения секущей на ее внешнюю часть:
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #2 : 09 Июль 2019, 15:16:38 »
Ого, спасибо большое. Я знал способ гораздо более сложный.
Остался 1 вопрос, если точка А и В расположены по разные стороны от прямой?

ЗЫ. Ваше замечательное решение строит сразу и 2 окружность.
И случай когда АВ>CD, то есть CD не может выступать диаметром.

вот, воспольсовался Вашей идеей и вспомнил задачу что Вы нам давали, сваял для общего вида, в независимости от отношения отрзка CD к отрезку АВ, понятное дело при возможности построения

« Последнее редактирование: 09 Июль 2019, 16:00:57 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #3 : 09 Июль 2019, 16:34:18 »

Остался 1 вопрос, если точка А и В расположены по разные стороны от прямой?


Тогда все еще проще: не надо продлевать АВ до пересечения с прямой, а нужно только соединить их :D
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #4 : 09 Июль 2019, 16:57:40 »
Спасибо....
Ларчик то просто открывался....

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #5 : 09 Июль 2019, 19:04:54 »
Спасибо....
Ларчик то просто открывался....
Да, эта задача в принципе не выходит за рамки начальной геометрии . Собственно, при решении принято в внимание всего лишь одно свойство - свойство секущей. 
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #6 : 09 Июль 2019, 19:43:45 »
Спасибо....
Ларчик то просто открывался....
Да, эта задача в принципе не выходит за рамки начальной геометрии . Собственно, при решении принято в внимание всего лишь одно свойство - свойство секущей.
Если одно, то степень точки, а так два, бабочка+произведение секущей на ее внешнюю часть)

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и прямая
« Ответ #7 : 10 Июль 2019, 00:29:34 »
На плоскости задана пара точек А и В, прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек и некий отрезок СД.

При помощи циркуля и линейки построить окружность проходящую через  точки А и В и отсекающую от прямой а хорду равную СД.

Решение в лоб, без оптимизаций, "срезов углов" и прочих фокусов.

Видно, что при комбинировании сего способа и способа хрипунова, в способе хрипунова можно сэкономить 1 чирк, а именно, у хрипунова не рисовать желтую прямую, а вместо неё нарисовать мой фиолетовый круг, который даст центр отрезка CD на прямой а. А потом от этого центра переносом циркуля провести круг радиусом |CD|/2.

1) Ставим произв. серый пунктирный круг "arb via A,B" через А и В.
2) Ставим точку касания "TangE" к кругу "arb" для касательной из точки Е.
3) Ведём сизый круг с центром в Е через точку "Tang Е". Так нашли точку F такую, что |EF|2 = |EB|∙|EA|.
4) Через F ставим перп. Ставим бурый круг d=|CD| с центром в F. Так находим точку G.
5) Ведём фиолетовый круг с центром в E через G и так получаем точку Н.
6) Ведём второй бурый круг d=|CD| с центром в Н и так получаем точки C' и D'.
7) Красный круг, проходящий через А, В, D', C' – искомый.


П.С. Вырисовалось ещё одно родственное решение. Выложу попозже.
« Последнее редактирование: 10 Июль 2019, 01:37:48 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и прямая
« Ответ #8 : 10 Июль 2019, 07:50:41 »
На плоскости задана пара точек А и В, прямая а, не проходящая ни через одну из этих точек и некий отрезок СД.

При помощи циркуля и линейки построить окружность проходящую через  точки А и В и отсекающую от прямой а хорду равную СД.
Существенно другого решения не получилось, но зато я изложу здесь идею.

Самое простое для этой задачи, конечно, это аналитическое решение, где просто надо решить квадратное уравнение, возникающее из формулы для степени точки, и изобразить полученный корень уравнения геометрически. Но, раз уж тут всем всегда и непременно нужно как можно более чисто геометрическое решение, то, вот более чисто геометрическое решение.


Идея более чисто геометрического решения – трансформация отрезка АВ в отрезок CD с сохранением привязки отрезка CD к точке Е пересечения данной прямой а и прямой, на кот. лежит отрезок АВ, и, в частности, чтобы синяя окружность (ГМТ точек касания) была для них общей.


Замечание: на рисунке 1 приведено много линий, не нужных для построения, но полезных для понимания. На рис. 2 оставлены только необходимые для построения линии.


1) Из свойства секущих следует, что для всего семейства окружностей, проходящих через две точки А и В, в том числе и искомой окружности, их точки касания “TangE” касательной, идущей из точки Е, будут принадлежать синей окружности (см. рис.). Иными словами, синяя окружность – это ГМТ точек касания типа TangE касательных из точки Е для всего семейства окружностей, проходящих через точки А и В. Это для пары точек А и В. А нам надо как-то от пары точек А и В перейти к паре точек C и D.

2) Поскольку как пара точек А и В, так и пара точек C и D должны принадлежать одной и той же искомой окружности, то нам надо установить некую связь между этими парами точек. Эта связь – синяя окружность.

Другими словами, как чёрная окружность на точках А и В (т.е. с диаметром |AB|) имеет точку касания TangE на синей окружности, так и бурая окружность с диаметром |CD| должна быть такая, чтобы она имела точку касания Tang’E на синей окружности.

3) Чёрная окружность, построенная на диаметре АВ, имеет радиус |АВ|/2 и точку касания TangE. А расстояние от её центра MidAB до точки Е – суть гипотенуза прямоугольного треугла с катетами |MidAB TangE| = |AB|/2 и [E TangE].
      Значит для пары точек C и D, аналогично, надо построить такую окружность на диаметре C’D’, у которой радиус будет |CD|/2 и расстояние от её центра MidC’D’ до точки Е должно быть  гипотенузой прямоугольного треугла с катетами |FG|=|CD|/2 и [EF] = [E TangE]. Эту гипотенузу [MidC’D’ E] мы находим поставив перп |FG| = |CD|/2. |MidC’D’ E| = |EG|.

Таким образом, точки A и B перейдут в точки C’ и D’, соотв., как показано стрелками.

4) Дальше найденные точки MidC’D’, C’ и D’ переносим на данную прямую а в точки H, C’’ и D’’, соотв.


П.С. Основополагающую идею хрипунова я не понимаю. Может Раце мне объяснит?
« Последнее редактирование: 10 Июль 2019, 08:19:22 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #9 : 10 Июль 2019, 11:43:00 »
Решение hripunov как раз прозрачно и элементарно) Без треугольников.

1. Для случая расположения двух точек с одной стороны от прямой:
-на базе отрезка АВ строится окружность с диаметром CD, для этого из т. А и В делаются засечки радиусом CD/2, неважно в какую сторону мы строим окружность, это ни на что не повлияет.
-из получившегося пересечения засечек, как из центра строим окружность радиуса  CD/2, получаем окружность диаметром равным CD.
-через точку пересечения прямой АВ и а проводим секущую через центр получившейся окружности.
-получаем отрезки ED'*C'D'.
-Так как произведение секущей на её внешнюю часть равняется константе, а именно величине квадрата касательной, то для любого произвольно выбранного C'D' будет существовать только одно ED'.
-этим и воспользовался hripunov, таким образом избежав построения непосредственно самой касательной, откладываем величину ED на а, вторая синяя окружность, всего лишь простое отложение на а отрезка равного CD.
-из единственности ED'=ED Є а, следует что C, D Є аб С, D, A, B Є w(ABCD).
То бишь, в данном построении, не Вы, а именно hripunov срезал непосредственное построение касательной.

Аналогично его построение для точек А и В расположенных по разную сторону от а.
-На базе АВ строит окружность диаметром CD.
-Через Е и центр окружности проводит секущую и отражает её на а.

ЗЫ. Первый способ hripunov не решает задачу для варианта AB>CD, для этого варианта решение выложил я.

Следует заметить, что я решал без прямоугольных треугольников, но так же с построением касательной. Именно по этому решение hripunov меня, как обычно и восхитило.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и прямая
« Ответ #10 : 10 Июль 2019, 11:56:01 »
Решение hripunov как раз прозрачно и элементарно) Без треугольников.

ЗЫ. Первый способ hripunov не решает задачу для варианта AB>CD, для этого варианта решение выложил я.

Следует заметить, что я решал без прямоугольных треугольников, но так же с построением касательной. Именно по этому решение hripunov меня, как обычно и восхитило.
"Первый способ hripunov не решает задачу для варианта AB>CD, ... " - Действительно. Ну, значит мой способ универсальнее хрипуновского, ибо в моём способе длина CD может быть от нуля до бесконечности. В Вашем способе я не разберусь.

"То бишь, в данном построении, не Вы, а именно hripunov срезал непосредственное построение касательной." - Так я как раз и сказал, что у меня без срезов и фокусов, в отличие от хрипунова.
« Последнее редактирование: 10 Июль 2019, 12:01:47 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и прямая
« Ответ #11 : 10 Июль 2019, 12:18:56 »

"Первый способ hripunov не решает задачу для варианта AB>CD, ... " - Действительно. Ну, значит мой способ универсальнее хрипуновского, ибо в моём способе длина CD может быть от нуля до бесконечности. В Вашем способе я не разберусь.

"То бишь, в данном построении, не Вы, а именно hripunov срезал непосредственное построение касательной." - Так я как раз и сказал, что у меня без срезов и фокусов, в отличие от хрипунова.
Мое решение всего лишь оптимизированный вариант hripunov для произвольной величины хорды.

-Вспоминайте, еще когда с нами был StrannikPiter (надеюсь с ним все в порядке), а Вы были (если мне память не изменяет) Tugrik. то т-щ hripunov давал нам антересную задачу, а именно, на плоскости задана пара точек А и В, окружность w и отрезок CD, требуется построить окружность проходящую через А и В и отсекающую от w хорду равную CD.
Кто именно придумал способ для получения хорды равной CD для секущей проходящей черех точку не принадлежащую w я уже не помню, но слямзил я его именно из той задачи.

Мое решение.
Все точно так же как и у hripunov, только в отличие от построения окружности диаметром CD  мы строим окружность от которой отсекается хорда заданной величины.
Для этого мы строим произвольную окружность проходящую через А и В, затем из произвольной точки данной окружности делаем засечку радиусом равным CD.
Строим концентрическую окружность касательную к хорде.
Любая касательная к последней окружности отсечет хорду необходимой длины.
В итоге получаем наш отрезок ED', у меня XD'.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и прямая
« Ответ #12 : 10 Июль 2019, 12:48:00 »

-Вспоминайте, еще когда с нами был StrannikPiter (надеюсь с ним все в порядке), а Вы были (если мне память не изменяет) Tugrik.
"StrannikPiter (надеюсь с ним все в порядке), " - Да, ему просто стыдно, вот и спрятался.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и прямая
« Ответ #13 : 11 Июль 2019, 04:32:31 »
Вот ещё вариация решения, похожая на мою первую, только подход немного с другой стороны.
Здесь, как и прежде, используется идея, что ГМТ точек касания касательных из точки Е всего семейства кругов, проходящих через точки А и В – это синий круг.

Также ещё используется идея, что, после построения искомого круга, проходящего через все 4 точки ABC’D’, мы не можем отличить, какая из двух пар точек, АВ или C’D’, была изначально задана, т.е. пары точек АВ и C’D’ равноправные и «симметричные». Отсюда следует, что и всё семейство кругов, проходящих через точки C’ и D’, также будет иметь ГМТ точек касания касательных из точки Е – тот же синий круг.

Поэтому, после построения синего круга на базе чёрного круга на диаметре АВ, задача сводится к построению такого бурого круга с диаметром d=|CD| и центром на заданной прямой а, чтобы для него ГМТ точек касания касательных из точки Е был синий круг. А сделать это очень легко – центр бурого круга должен отстоять от точки Е на расстояние равное гипотенузе [ED] прямоуглого треугла с катетами 1) |CD| и 2) радиус синего круга.

Зелёный пунктирный круг с центром в MidEMidAB просто служит для нахождения точки касания TangE на чёрном круге..

Замечание: Этот метод, опять же, работает для любой длины |CD|, но не работает в случае прохождения прямой а между точками А и В. Потом, может быть, решу и для этого случая.

====================================================================

-Вспоминайте, еще когда с нами был StrannikPiter (надеюсь с ним все в порядке), а Вы были (если мне память не изменяет) Tugrik. то т-щ hripunov давал нам антересную задачу, а именно, на плоскости задана пара точек А и В, окружность w и отрезок CD, требуется построить окружность проходящую через А и В и отсекающую от w хорду равную CD.
Я не помню такую задачу и вспоминать не буду. Я просто решил её сейчас заново с нуля. Решение выкладывать, пожалуй, не буду, ибо время жалко, да и не интересно это никому.
« Последнее редактирование: 11 Июль 2019, 04:42:23 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.