Автор Тема: Ромб с углами 60 и 120 градусов  (Прочитано 717 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Ромб с углами 60 и 120 градусов
« : 02 Июль 2019, 13:30:49 »
На плоскости произвольным образом заданы четыре точки, образующие вершины выпуклого четырехугольника. Циркулем и линейкой построить ромб с углами 60 и 120 градусов, каждая сторона которого содержит одну из данных точек.
« Последнее редактирование: 02 Июль 2019, 13:35:28 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #2 : 03 Июль 2019, 12:36:51 »
Данный метод рисовально-детский. Он годится для любого угла α при вершине. Я сильно догадываюсь, что для конкретного угла 60° построение должно быть проще, ибо там три вершины ромба лежат на круге, у которого центр - суть четвёртая вершина. Может быть потом сделаю для конкретно угла 60°.


Суть сего метода такова:

Даны точки ABCD и угол α.

1) Через точки А и В проводим произвольные отрезки, лишь бы они дали заданный угол α.
2) Ставим зелёный круг через А, В и α.
3) На зелёном круге ставим точку-ползунок J и из неё ведём лучи JA и JB. Ставим параллели этим лучам через точки D и C. Так получаем синий параллелограмм JKNM.
4) Если точкой J ползать по зел. кругу, то вершины синего паралграмма начнут описывать круги. Это не сложно доказать. Я могу.
Вершина М будет описывать коришневый круг.
5) Ставим фиол. круг с центром в J и через вершину К. Отмечаем точку L пересеч. этого круга со стороной JM. При елозении точки J по зел. кругу. точка L будет описывать лиловый круг.
6) Пересечение лилового и коришневого кругов точка Е - искомая вершина.

Замечание: Коришневый круг можно построить сразу с одного положения точки J по трём точкам В, С, М. Лиловый круг тоже можно построить сразу с одного положения точки J по двум точкам В и L и по третьей точке, происходящей от зелёных отрезков, если их продлить в линии и на них построить парал-грамм типа синего.

Построить можно два ромба, уд. условию. Второй - это если сначала выбрать точки В и С.
« Последнее редактирование: 03 Июль 2019, 13:12:04 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #3 : 03 Июль 2019, 13:35:07 »
 :bravo:
Оба ответа верны.
c2h5oh представил решение , где для упрощения построения использовано свойство биссектрисы угла, вписанного в окружность, делить пополам дугу, на которую он опирается.
Использование основного принципа способов, представленных здесь,   позволяет решить облако близкородственных задач, типа : Восстановить правильный пятиугольник ( семиугольник, и т.д) по четырем точкам, каждая из которых лежит на одной из четырех   его последовательных сторон.
« Последнее редактирование: 03 Июль 2019, 14:03:54 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #4 : 03 Июль 2019, 14:25:00 »
Только общим решением будет два, на первый взгляд  не ортогонально расположенных ромба.
« Последнее редактирование: 03 Июль 2019, 14:31:41 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #5 : 03 Июль 2019, 16:45:41 »
Вот люблю я через жопу залезть.

Всегда в таких задачах, если анализ не прет пытаюсь найти решение при помощи определения траектория движения какой либо точки. Если точка движется по окружности или прямой, то ЭВРИКА задача решена, так и тут вышло.


1. Строим траектории движения нашего ромба. Как верно заметил Игрек неважно какие углы, но откровенно говоря с углами 60-120 построение наиболее простое.
На моем построение траектория движения угла в 60 градусов - синяя, 120 градусов фалетовая соответственно.
2. Начинаем двигать равносторонний треугольник по этой конструкции, а именно одну точку по синей и одну по фалетовой траекториям, учитывая что все биссектрисы угла 60 градусов пройдут через точку Ы, уже использованную Спиртом.
3. Третья точка, как оказалось, тоже будет двигаться по окружности. Красной. Точка пересечения красной окружности и фалетовой траектории искомая.


Как обычно, хоть и не могу привести доказательство, решение математически точное.


ЗЫ, после прочтения решения Игрека дотумкал что точка Ы в принципе не нужна у меня, но уж больно красивенно в ней все пересеклось)

« Последнее редактирование: 03 Июль 2019, 17:04:11 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #6 : 03 Июль 2019, 16:56:28 »
Данное построение нанесло удар по моей "двигательной"геометрии. В данном конструкте отсутствуют закрепленные точки. Мы вращаем подобную конструкцию закрепленную в 2 точках, но эти точки расположены не в пропорциональных местах конструкта. Тем не менее, все остальные точки данного конструкта двигаются по окружности....

Эх, беда печаль... Сложно изобретать велосипед.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Ромб с углами 60 и 120 градусов
« Ответ #7 : 03 Июль 2019, 17:01:26 »
Почитал решение Игрека, та же рыба, только в профиль))
Без объяснения его рисунок совершенно не понятен.

В принципе решения аналогичны, только он оперировал параллелограммом, а я равносторонним треуглом, учитывая что траектории движения всех вершин ромба мы можем задать сразу, если есть возможность отложить угол alpha каким либо образом.