Автор Тема: Разрезать шестиугольник на две равные по площади части  (Прочитано 531 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Произвольный (пусть для определенности выпуклый) шестиугольник разделить  на две равные по площади части прямой линией, проходящей через заданную точку, отмеченную на одной из сторон произвольным образом.
« Последнее редактирование: 18 Июнь 2019, 14:35:04 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Строим график непрерывной, монотонно возрастающей функции, состоящей из 5 прямолинейных участков. которые соответствуют 5 последовательным сторонам шестиугольника, кроме той на которой выбрана точка. Размер каждого участка по оси X это длина стороны, тангенс угла наклона - расстояние от точки до этой стороны. Затем проводим горизонтальную прямую посередине между нижней и верхней точками графика. Точка пересечения прямой с графиком покажет какую точку на какой стороне нужно взять.
« Последнее редактирование: 18 Июнь 2019, 16:53:52 от c2h5oh »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Строим график непрерывной, монотонно возрастающей функции, состоящей из 5 прямолинейных участков. которые соответствуют 5 последовательным сторонам шестиугольника, кроме той на которой выбрана точка. Размер каждого участка по оси X это длина стороны, тангенс угла наклона - расстояние от точки до этой стороны. Затем проводим горизонтальную прямую посередине между нижней и верхней точками графика. Точка пересечения прямой с графиком покажет какую точку на какой стороне нужно взять.
Я не смог понять суть этого способа, прошу прояснить его более подробно.  Судя по описанию, получается, что расположение заданной точки на стороне ( в каком месте отрезка она находится)  не имеет значения  :unknown:.
« Последнее редактирование: 19 Июнь 2019, 13:27:35 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн artem

  • Старожил
  • ****
  • Сообщений: 406
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Я не смог понять суть этого способа, прошу прояснить его более подробно.  Судя по описанию, получается, что расположение заданной точки на стороне ( в каком месте отрезка она находится)  не имеет значения  :unknown:.
Имеет значение. В этом случае изменяется длина нормалей от этой точки к сторонам шестиугольника. Попробовал исполнить метод С2Н5ОН. Вроде похоже на правду, но смысл я не осилил :)

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля

В треугольнике D1C2D2 tg(ф)=k*hcd, и т.д.
k-произвольная константа, для всех углов одна и та же. От неё зависит только масштаб рисунка.
AB=A2B1 и т.д.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Принцип до маразма и до неприличия прост - всё то же елозение вершин треуглов вдоль противопол. сторон с сохранением площади этих треуглов. И не удивлюсь, если тут можно ещё сократить построение, как было в предыдущей задаче про деление треугла на m/n. Но оптимизация потом, щас некогда.


Пусть дан гексагон ABCDEF.

1) Притягиваем за уши точки F и C к прямой DE в точки F1 и С1, соотв.. Делаем это вдоль направлений АЕ и BD, соотв., чтобы площади треуглов AEF и BCD не изменились.

2) Притягиваем за уши точки А и В к прямой DE в точки  H и G, соотв.. Делаем это вдоль направлений YF1 и YC1, соотв., чтобы площади треуглов YAF1 и YBC1 не изменились.

3) В результате такого двойного сдвига вершин вдоль оснований треуглов без изменения площадей треуглов получаем красивый красный (от стыда, что так всё просто оказалось) треугол YGH. Находим середину Z отрезка GH, и отрезок YZ будет делить 6-угольник ABCDEF пополам.



П.С. Этот метод пригоден не только для деления площади пополам, но и на произвольное соотношение x/y. Просто точку Z тогда надо брать не по середине отрезка GH, а чтобы она делила отрезок GH на куски x/y.

П.П.С. Это построение, похоже, не универсальное, по крайней мере, в этом виде без доработок. Я не исследовал дальше, но если не угадали, какую сторону надо принимать за направление (здесь я взял на глазок ED), то это ничего страшного - пересечение прямой YZ с другой стороной 6-угольника покажет, какую сторону надо было выбирать для притягивания к ней вершин.

П.П.П.С. Сей метод работает не только для выпуклых пукл, но также и для впуклых пукл и вообще любой неимоверной формы, даже самопересекающихся пукл. См. рис. 3. Только я не взялся бы такой решать, не придумав заранее сей метод.  ;D
А метод спирта работает с такими извращёнными формами?


=============================

Метод спирта мне понравился. Я его сразу прочувствовал. Я когда-то очень давно (в школе, наверное) подобный метод прироста площади по мере "сканирования вдоль направления (координаты)" то ли видел где-то, то ли даже сам придумал для какой-то более простой задачи.
« Последнее редактирование: 19 Июнь 2019, 22:42:27 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Принцип до маразма и до неприличия прост ...
:yes: Это тот способ, который и подразумевался. Подходит даже для знающих только самые азы планиметрии.
А Спирт, безусловно, внес в пустяшную задачу струю оригинальности...
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Построение одной рейсшиной (роликовой) в 8 линий. Последние 3 линии для нахождения точки Z не показаны.

Я думаю, объяснять, как находить середину отрезка одной рейсшиной, здесь не нужно.

===============================================

"А Спирт, безусловно, внес в пустяшную задачу струю оригинальности..." - Спирт - голова! Он завоёвывает у меня всё больше и больше уважения. Правда, моё уважение, конечно, никому не делает особой чести.
« Последнее редактирование: 20 Июнь 2019, 04:43:06 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Посыпаю голову пеплом. Метод Спирта я не понял... А до метода Головотяпа, ясен пень, не додумался. Интересно, что используя такой метод аналогичные процедуры можно выполнить над 4 и 5 угольником.. Для n-угольника, как мне кажется, тоже можно прикрутить.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Проверил, метод отлично подходит для n-угольника. Правда отношение n/m будет ограничено выбранной базовой стороной. С ним можно поиграться выбирая иные базовые стороны, но в определенном соотношении побить возможно. Думаю любой n-угольник, как минимум, можно побить на 2 равные части, а так же достаточно близкие к ним.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Так же, данный метод, есть более общее решение задачи для треугольника.
Причем не требующее доказательства от слова вообще.
Головотяп, мое почтение!


Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1490
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Вот, обледененил метод Головотяпа и мой, получился приятный микс который подойдет для разбиения n-угольника на 2 части с отношением площадей n/m в случае "выпадения" точки Z на соседнюю с стороной выбранной за базу. Понятное дело что для n-угольника, и одной выбранной стороны сразу все отношения n/m мы не захватим, но так за раз мы закрываем сразу 3 стороны.

PS. Данный способ работает только для случая |OP|>=|OZ'|, |OP|<|OZ'| то надо думать.
« Последнее редактирование: 20 Июнь 2019, 15:40:29 от Race »

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Хотелось бы, чтобы я ошибался, но сдаётся мне, что у Спирта что-то не так.
   Я попробовал сделать его методом (точнее, не то чтоб его, а как я думал, что понимаю), и у меня не получается. Прошу всех, кому не лень, включая самого спирта, начертать его методом и проверить.

Моё понимание метода спирта такое (возможно, неправильное): спирт берёт все треуглы с общей вершиной М, составляющие гексагон, и превращает их все в прямоуглые треуглы и выстраивает в ряд на своём "графике". И спирт берёт половину суммы высот (вертикальных катетов), что совпадает с моим пониманием - так и надо, ибо чтобы уполовинить суммарную площадь нужно уполовинить все высоты по отдельности, и в сумме это даст половину суммы (красная линия). На рисунке спирта прямоугольные треугольники имеют горизонтальные катеты равные сторонам 6-угла, а вертикальные катеты - равные высотам (последние там типа все зачем-то умноженные на к, но это не важно).   

Но! По сути, с точки зрения площадей и рисунка, вертикальные и горизонтальные катеты равноправные должны быть. И тогда этот метод должен быть ещё проще и в одно действие - находим середину периметра, отмеренного от точки М - и баста! И середина суммы горизонтальных (красная линия) тогда должны совпадать с серединой суммы вертикальных в точке Х2, а это не так.

На рисунке у спирта каким-то чудом (или не чудом) площади получаются равные.

То ли я всё-таки что-то не понимаю, толи фраза спирта
"В треугольнике D1C2D2 tg(ф)=k*hcd, и т.д.
k-произвольная константа, для всех углов одна и та же. От неё зависит только масштаб рисунка
"
какая-то неправильная, и вертикальные катеты всё же не есть высоты, умноженные все на одинаковый к, а как-то индивидуально обработанные разными к. Видно, что некоторые верт. катеты совпадают с оригинальной высотой, некоторые в 2 раза короче, некоторые ~ в полтора. Т.е. к не есть "k-произвольная константа, для всех углов одна и та же", а разная.
« Последнее редактирование: 21 Июнь 2019, 00:31:02 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Вертикальные катеты равны произведению соответствующих тангенса и горизонтального катета. Так как тангенс прямо пропорционален высоте, вертикальный катет прямо пропорционален площади соответствующего треугольника. Коэффициент k выбран так чтобы рисунок на экране поместился.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Вертикальные катеты равны произведению соответствующих тангенса и горизонтального катета. Так как тангенс прямо пропорционален высоте, вертикальный катет прямо пропорционален площади соответствующего треугольника. Коэффициент k выбран так чтобы рисунок на экране поместился.

A, nu slava bogu! Znachit Vash metod estj imenno to, chto ja i dumal snachala: метод прироста площади по мере "сканирования вдоль направления (координаты)". V dannom sluchae tut skaniruet otrezok s odnim koncom v tochke M, a vtoroj konec nachinaen bezhatj iz tochki A po vsemu perimetru cherez B, C, D, E i do tochki E, pokrivaja po mere probega vsju ploschadj geksagona. I skorostj prirosta ploschadi na kazdoj iz storon proporcionaljna visote h dlja dannoj storoni. A skorostj, kak izvestno - eto proizvodnaja, t.e. tangens ot h/a. T.e. vertikaljnie kateti - eto ne prosto visota h, a ewe podeljonnaja na a.

No ja bi, esli bi uzh vzjalsja za takoj analiticheski-arifmeticheskij metod, luchshe bi sdelal po drugomu. Pridu domoj, narisuju. Tam bolee ponjatno narodu budet.
« Последнее редактирование: 21 Июнь 2019, 13:43:44 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.