Автор Тема: Пара простеньких из школьной геометрии  (Прочитано 1318 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #15 : 15 Июнь 2019, 17:29:05 »
У меня 2 4G, на Киевстар не ловит, на UMC (Vodafone), нормально ловит 3G.

Пальцев 12.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1497
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #16 : 17 Июнь 2019, 05:01:11 »
1) Через произвольно отмеченную на стороне треугольника точку провести прямую, делящую площадь треугольника в заданном отношении m/n.

Решения нужны простые: первая - в рамках планиметрии до 8-9 класса школы.

Решаю и пишу сейчас борясь со сном, так что не обессудьте, если чушь несу.

Постарался сделать максимально чисто геометрическое решение, и ни малейшей формулы, даже соотношение сторон, не используется.

1) Идея такова (см. рис 1):

На стороне АВ нанесена жирная точка Х, через которую вести линию для поделения на m/n.
Нанесём на эту же сторону точку P (Part=m/n), которая делит сторону АВ на mn. Взял для примера 3/9. Тогда площади треуглов АРС и РСВ будут относ как m/n, ибо высоты у них одинаковые, а основания относ как m/n.
И тогда цель – найти такую точку W, чтобы площади треуглов LPX = WLC. Тогда площади Треугла AXW и копья XBCW будут относ как 3/9.


2) Нахождение точки W чисто геометрически (см. рис. 2).

Оптимизированный более короткий способ с рисунком без лишних линий писать не буду, а то будет непонятно и выглядеть бездоказательно. (На самом деле, я поместил его в следующем посте).

Поскольку площади не меняются при движении верхней вершины по горизонтали, сдвинем точку С влево так, чтобы получился прямоуглый треугол АВС’.

Поскольку при сплющивании всех размеров по вертикали соотношения площадей не меняются, сплющим треугол АВС’ в треугол АВС1 так, чтобы |АС1|=|АХ|. Тогда аналог точки W’ точку W1 для сплющенного треугла АВС1 найти очень легко. Это просто будет точка Р, отображённая на стороне АС1. Построим её с пом. круга (А,Р).

Отплющиваем назад треугол АВС1 вместе с точкой W1 и получаем точку W’. Это легко сделать двойной гомотетией туда-обратно (показана серыми пунктирными линиями)

Отображаем точку W’ на сторону исходного треугла.

Решения тут, в общем случае, два. Второе делается аналогично в другую сторону (Всё, что делалось у вершины А, надо сделать у вершины В).

============================
Последнее слово подсудимого. Мои авторские задачи, возможно, и смехотворные, и низкоуровневые, и не новые, и давно решенные ещё древними греками, но они 99% придуманы мною самим. Я с других сайтов задачи обычно никогда не тискаю.
« Последнее редактирование: 17 Июнь 2019, 06:29:58 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1497
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #17 : 17 Июнь 2019, 06:02:52 »
Чисто на всякий случай, вот моё укороченное построение.
Думаю, что после очень подробного, что очень нетипично для других здесь решальщиков, объяснения в предыдущем посте, здесь уже всё должно быть понятно. Просто, так как треуглы подобные, сначала срезали путь, минуя построение точек C' и W' (рис. 3-1). А потом ещё раз срезали построение точек C1 и W1 (рис. 3-2).

Рис. 3-3 - собственно, если точка Р (Part=m/n) уже нарисована, то наикратчайшее построение точки W с двумя переносами циркуля можно сделать в 3 чирка.
« Последнее редактирование: 17 Июнь 2019, 07:51:27 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #18 : 17 Июнь 2019, 15:58:41 »
Чисто на всякий случай, вот моё укороченное построение.

Верно.  :yes: Когда я говорил о школьном способе, я подразумевал именно "метод  кройки и шитья"
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #19 : 17 Июнь 2019, 16:14:30 »
Ну, а с тетраэдром все еще проще. Достаточно , чтобы плоскость рассечения проходила через ребро , где лежит заданная точка,  и проходила через точку, которая делит противоположное ребро  в отношении м/n
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #20 : 19 Июнь 2019, 12:47:27 »
Головотяп, как обычно, Выше всяких похвал. Даже доказали не классически, а интеллектуально. 
Хотя, для треугольника, равенство площадей треугольников доказывается через трапецию, образованную двумя параллельными прямыми, так как в любой трапеции площадь боковых треугольников равна.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #21 : 21 Июнь 2019, 13:06:17 »
Вот полное построение разбиения треугольника прямой проходящей через точку Р на 2 фигуры площади которых относятся как n/m=1/9.
Основной метод Головотяпский (2S=aha). Вспомогательный, через подобие треугольников (2S=ab*sinC).
« Последнее редактирование: 21 Июнь 2019, 13:13:44 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #22 : 05 Сентябрь 2019, 16:15:31 »
Форум стогнировал, стонировал да не выстогнировал.

Очень простая, школьная, начальная планиметрия.


На плоскости задан прямоугольный треугольник АВС, из прямого угла С, на гипотенузу, опущена высота СН, Известно что АН=а, ВН=б, требуется найти СН, АН, ВН -?

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #23 : 25 Сентябрь 2019, 18:04:43 »
...требуется найти СН, АН, ВН -?

СН=(а*б)1/2
АН=а, ВН=б
:unknown:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #24 : 25 Сентябрь 2019, 23:26:36 »
Опечатка, требуется найти еще АС и СВ, через а и б.
Высота, естественно правильно.

Оффлайн Головолом

  • Ветеран
  • *****
  • Сообщений: 585
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #25 : 30 Сентябрь 2019, 11:48:45 »
Для их нахождения тоже всё уже есть
АС=(а2+а*б)1/2
СВ=(б2+а*б)1/2

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #26 : 30 Сентябрь 2019, 12:45:20 »
Это Вы по теореме Пифагора, а еще можно по подобию треугольников:
(a+b)/x=x/a =>x^2=a(a+b) для одного катета и соответственно для второго (a+b)/y=y/b=> y^2=b(a+b), далее мы получаем доказательство т-мы Пифагора:
x^2+y^2=a(a+b)+b(a+b)=(a+b)^2  :rest:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1521
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #27 : 05 Октябрь 2019, 14:30:53 »
На плоскости заданы две пересекающиеся в точках А и В окружности w1 и w2.

Через точку А проведены две прямые a и b, пересекающие окружности в точках C, А и D (прямая а) и E, A и F (прямая b). Точки C, A, E  принадлежат w1, а D, A и F w2 соответственно
Докажите что если /_BAC=/_BAF то CD=EF.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5501
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #28 : 08 Октябрь 2019, 13:59:17 »
На плоскости заданы две пересекающиеся в точках А и В окружности w1 и w2.

Через точку А проведены две прямые a и b, пересекающие окружности в точках C, А и D (прямая а) и E, A и F (прямая b). Точки C, A, E  принадлежат w1, а D, A и F w2 соответственно
Докажите что если /_BAC=/_BAF то CD=EF.
Треугольники ВЕF и ВСD подобны исходя из равенства двух углов . А так как у них равны соответственные высоты, то треугольники ВЕF и ВСD равны, откуда следует CD=EF
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1497
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #29 : 10 Октябрь 2019, 13:13:46 »
На плоскости заданы две пересекающиеся в точках А и В окружности w1 и w2.

Через точку А проведены две прямые a и b, пересекающие окружности в точках C, А и D (прямая а) и E, A и F (прямая b). Точки C, A, E  принадлежат w1, а D, A и F w2 соответственно
Докажите что если /_BAC=/_BAF то CD=EF.

У меня первая половина решения ( где равенство углов ) такая же, как у хрипунова, а вторая - другая. Я конгруэнтность трeyглов ВЕF и ВСD доказываю не через равенство высот, коих я в упор не вижу, а через равенство двух соответственных сторон ВС и BE  ( равенство сторон BD и BF , при желании, доказывается аналогично ).   Pавенство двух соответственных сторон ВС и BE  следует из того, что треугол EBC равнобедренный. А это следует из того, что углы ECB и CEB равны. Равенство углов ECB и СЕB доказывается несложно арифметически сложением и вычитанием нужных уголков, включая /_CEA, /_ECB и равные уголки /_BCA и /_BEA , и из равенств:

2x/_BAE + /_EAC = 180 (из условия и из построения; развёрнутый угол на прямой ВА с вершиной в точке А = 180)

/_EAC + /_ACE + /_CEA = 180 (сумма углов треугла ACE = 180).

« Последнее редактирование: 10 Октябрь 2019, 18:20:32 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.