Автор Тема: Пара простеньких из школьной геометрии  (Прочитано 2127 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
1) Через произвольно отмеченную на стороне треугольника точку провести прямую, делящую площадь треугольника в заданном отношении m/n.


2) На ребре AD тетраэдра ABCD произвольно отмечена точка P. Построить сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точку P и делящей его объем  в заданном отношении m/n.


Решения нужны простые: первая - в рамках планиметрии до 8-9 класса школы, вторая - самые азы стереометрии....
« Последнее редактирование: 14 Июнь 2019, 16:32:51 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #1 : 14 Июнь 2019, 18:05:11 »
Помнится, на 1 ресурсе я сталкивался с аналогичной задачей, только разделить требовалось четырехугольник. К сожалению, из-за плохой памяти все забыл.
С треугольником же все понятно.

На стороне АВ треугольника АВС задана точка М, определить такую точку  N на ВС или СА что бы S(AMN)/S(MNBC)=n/m.

Определим для АС.
n
MA*AN=nbc/(n+m)=>AN=n/(n+m)*bc/MA.
Построение выполняем по подобным треугольникам.
Писал в трамвае, с телефона, в голове, вроде, все работает.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #2 : 14 Июнь 2019, 19:10:05 »
Помнится, на 1 ресурсе я сталкивался с аналогичной задачей, только разделить требовалось четырехугольник. К сожалению, из-за плохой памяти все забыл.
С треугольником же все понятно.

На стороне АВ треугольника АВС задана точка М, определить такую точку  N на ВС или СА что бы S(AMN)/S(MNBC)=n/m.

Определим для АС.
n
MA*AN=nbc/(n+m)=>AN=n/(n+m)*bc/MA.
Построение выполняем по подобным треугольникам.
Писал в трамвае, с телефона, в голове, вроде, все работает.
А Вы ту задачу здесь выкладывайте.  А решение, которое Вы написали к этой задаче, я не понял. Лучше с картинкой  напишите, когда время будет...
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #3 : 14 Июнь 2019, 19:29:42 »
Обе эти задачи решаются аналогично. Например для тетраэдра: на рёбрах DB и DC выбираем некоторые точки Q и R так чтобы DP*DQ*DR/(DA*DB*DC)=m/n;

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #4 : 14 Июнь 2019, 19:36:38 »
У нас пн выходной, еду в село)
1. Используем формулу площади через синус угла между сторонами.
2. 2S=bc*sinA
3. S1/S2=n/m=> S1=nS/(n+m)
3. 2S1=MA*AN*sinA
4. nbc/(n+m)=MA*AN

Все кроме AN нам задано. Сам отрезок определяем через подобие треугольников

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #5 : 14 Июнь 2019, 19:55:00 »
Обе эти задачи решаются аналогично. Например для тетраэдра: на рёбрах DB и DC выбираем некоторые точки Q и R так чтобы DP*DQ*DR/(DA*DB*DC)=m/n;
Это верное математическое решение.  :yes:  Но еще есть забавно-головоломное, и намного проще осуществляемое практически.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #6 : 14 Июнь 2019, 19:55:09 »
Странно то, что в своем решении я не вижу ошибки, но в тоже самое время оно отличается от решение Спирта....

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #7 : 14 Июнь 2019, 19:58:48 »
У нас пн выходной, еду в село)
1. Используем формулу площади через синус угла между сторонами.
2. 2S=bc*sinA
3. S1/S2=n/m=> S1=nS/(n+m)
3. 2S1=MA*AN*sinA
4. nbc/(n+m)=MA*AN

Все кроме AN нам задано. Сам отрезок определяем через подобие треугольников
Эти формулы все верны. Именно фраза "Сам отрезок определяем через подобие треугольников" не ясна ( я такой способ не помню).  И  к этой задаче тоже можно найти чисто головоломно-развлекательный способ построения,  и совсем простой в практическом начертании.
Цитировать
Автор: Race
« : Сегодня в 19:55:09 » Цитата
Странно то, что в своем решении я не вижу ошибки, но в тоже самое время оно отличается от решение Спирта....
Так ведь способов много. Решение Спирта я осознаю в контексте практического начертания, а ваше пока нет.
РS
А, вот еще заметил, что имеет место двоякое понимание фразы "делящую площадь треугольника в заданном отношении m/n".  Ее нужно воспринимать  как "м - один отсеченный кусок , а n - другой".  А не "м - целое, а n - отсеченное". В этом свете решение Спирта имеет опечатку.
Но его ход решения ясен: Отношение объемов тетраэдров, имеющих по равному трехгранному углу, равно отношению произведений длин всех ребер, выходящих из вершины равных углов для каждого из тетраэдров.
И все же есть способ куда проще...
Все, я тоже на  отдых ( на другие виды отдыха) ...
« Последнее редактирование: 14 Июнь 2019, 20:24:02 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #8 : 14 Июнь 2019, 20:29:57 »
1. Увеличиваем/уменьшаем b или АМ в n раз. От вершины А.
2. Уменьшаем/увеличиваем c в n+m раз
 
Получаем пропорцию, к примеру:

nb/AM=AN/(c/(m+n))

Соответственно имеем 1полный треугольник слева (2 стороны и угол А между ними) и сторону (при угле А) подобного ему справа, строим в втором треугольнике третью сторону параллельную третьей в 1 треугольнике

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #9 : 14 Июнь 2019, 21:07:56 »
Должно быть и другое решение, посредством квадратного уравнения, так как секущих, в общем случае, может быть 2. При чем в некотором случае они могут отсекать 2 неконгруэнтных треугольника от одного угла, в других по треугольнику от каждого угла.
Как решать сразу для двух случаев, ума не приложу.
Поэтапно все понятно, сначала строим два отрезка AN=nbc/(AM(n+m)) и AN'=mbc/(AM(n+m)), затем аналогично для угла В BN=nbc/(BM(n+m)) и BN'=mbc/(BM(n+m)).
Могут ли все эти четыре отрезка быть меньше сторон b и a соответственно не берусь судить.
« Последнее редактирование: 14 Июнь 2019, 21:13:58 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5530
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #10 : 14 Июнь 2019, 23:44:51 »
Должно быть и другое решение, посредством квадратного уравнения, так как секущих, в общем случае, может быть 2. При чем в некотором случае они могут отсекать 2 неконгруэнтных треугольника от одного угла, в других по треугольнику от каждого угла.
Как решать сразу для двух случаев, ума не приложу.
Поэтапно все понятно, сначала строим два отрезка AN=nbc/(AM(n+m)) и AN'=mbc/(AM(n+m)), затем аналогично для угла В BN=nbc/(BM(n+m)) и BN'=mbc/(BM(n+m)).
Могут ли все эти четыре отрезка быть меньше сторон b и a соответственно не берусь судить.
Квадратное уравнение  графически, безусловно, можно исполнить, но лучше найти решение, доступное детишкам  13-14  лет. ;)
Например, детишки знают , как найти площадь треугольника , и могут  поделить один отрезок на два отрезка в соотношении m/n, а умножать и возводить в квадрат методом построения категорически отказываются :D
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2019, 00:05:15 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #11 : 15 Июнь 2019, 12:26:06 »
В уме не осиливаю... А до компа доберусь только в пн) зато тут клубники несколько грядок}
https://ibb.co/bFVBND4

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #12 : 15 Июнь 2019, 12:51:27 »
В уме не осиливаю... А до компа доберусь только в пн) зато тут клубники несколько грядок}
https://ibb.co/bFVBND4
Zadacha po kartinke

https://ibb.co/bFVBND4

- Skoljko paljcev vidno na kartinke?
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #13 : 15 Июнь 2019, 13:44:34 »
Zadacha po kartinke

https://ibb.co/bFVBND4

- Skoljko paljcev vidno na kartinke?
Я когда жену в ЗАГС вел производил инвентаризацию её конечностей, потому авторитетно заявляю, там 10 пальцев)

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Пара простеньких из школьной геометрии
« Ответ #14 : 15 Июнь 2019, 14:42:26 »
Zadacha po kartinke

https://ibb.co/bFVBND4

- Skoljko paljcev vidno na kartinke?
Я когда жену в ЗАГС вел производил инвентаризацию её конечностей, потому авторитетно заявляю, там 10 пальцев)
Molodaja zhena v porjadke, no tam paljcev boljshe.

I vopros vtoroj - otkuda v ogorode The Internet? Ili tam svjazisti vremennij provodnoj protjanuli?
« Последнее редактирование: 15 Июнь 2019, 14:52:16 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.