Автор Тема: Три круга-друга или "Вас это тоже касается".  (Прочитано 400 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Задачу сам ещё не решил, так что не знаю, интересная она или нет. Но, на первый взгляд, интересная. Может быть даже достойна уровня хрипунова. На счёт спирта пока ещё не берусь судить.

Задача:

Даны три точки (не на одной прямой).
Поручение: Построить такие любые три окружности с центрами в данных точках, чтобы они все три пересекались в одной точке и имели общую касательную.
« Последнее редактирование: 12 Июнь 2019, 14:55:59 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Проще всего наверное два радиуса взять равными. Ну а потом получится стандартная задача решаемая с помощью инверсии. Ну это я так прикинул. Если всё будет чего надо касаться и где надо пересекаться чертёж выложу попозже.

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля

Даны точки A,B,C. Радиусы окружностей с центрами в А и C принимаются равными - по условию можно. Так что эти радиусы больше радиуса окружности с центром в B на расстояние h от В до прямой AC. Далее на серединном перпендикуляре к AC ищется точка, расстояние от которой до точки А больше чем до B на h. Эта задача решается с помощью инверсии относительно окружности с центром в О (середина DB). Две окружности, касающиеся в O и серединный перпендикуляр к AC (черные) переходят в две прямые и окружность (синие). Получаем точку M и обратной инверсией точку P.
« Последнее редактирование: 13 Июнь 2019, 03:36:32 от c2h5oh »

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 166
    • Просмотр профиля
Если выбрать прямую параллельную касательной (случай когда все радиусы различны), задача сводится к
построению окружности касающейся трёх окружностей, которая в свою очередь сводится также инверсией  к задаче построения окружности, касающейся двух параллельных прямых и окружности.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Да, эта задача  из группы тех, которые тут уже рассматривались в контексте Аполлония.  И тут,  действительно, условие неполное :  должно быть дано направление, параллельное  касательной. Иначе - облако решений . Ну а если все-таки  не дано, им можно задаться самостоятельно и нарисовать один из бесконечного числа вариантов, как написал c2h5oh .
Рисуем три окружности с центрами в данных точках , и  касающиеся одной прямой ( образ будущей касательной).
Строим окружность, касающуюся трех окружностей ( решаем задачу Аполлония) , затем увеличиваем эти три окружности на радиус построенной - и построенная сжимается в точку , в  которой и пересекаются три окружности. А увеличенные окружности по прежнему касаются одной прямой.
« Последнее редактирование: 13 Июнь 2019, 19:32:55 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
При решении данной задачи, в общем случае, на одном из этапов решения, нам надо построить круг, касающийся трёх кругов разного радиуса. Но если направление касательной не указано, мы можем сами выбрать такое направление, при котором удовлетворить условию задачи будет легче всего.

Выбор такого «облегчающего жизнь» направления, сам по себе, уже как бы есть отдельный «пункт решения», а вовсе не «тут,  действительно, условие неполное :  должно быть дано направление», как сказал хрипунов. Но почему оно "должно быть дано"? Если дано, то дано, а если не дано, то значит это задача такая, предоставляющая свободу выбора направления, а не «очередная глупость автора задачи».
 
Как верно заметил спирт, «проще всего наверное два радиуса взять равными». Но далее ув. тов. спирт не воспользовался преимуществами данного выбора, и стал решать всё равно сложным способом, ещё и используя инверсию. Инверсия, безусловно, очень мощный метод. Но он, сам по себе, всё же требует определённых усилий.
    Данный выбор «равных радиусов» лучше было бы сформулировать иначе:
«Выберем направление касательной как прямую, проходящую через две из трёх точек».

Вот, изготовил рисунок с расположением точек А, В и С как на рисунке спирта в посте
www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,10678.msg83059.html#msg83059
чтобы легче было видеть существенную разницу в трудозатратах чертёжника.

Мой метод здесь основан не на инверсии, а на радикальных осях двух пересекающихся кругов – данного и проходящего через две фиксированные точки. И таким методом решается намного проще, ибо такие оси – это просто прямые через точки пересечения двух этих кругов. И эти оси все пересекаются в одной точке Р – полюсе.


Построение (см. рис.).

1) Выбираем две точки посимпатичнее в качестве направления общей касательной. Пусть это будут точки А и С как у спирта.
2) Строим круг b с центром В, касающ. прямой АС. Точкой касания будет точка D.
3) Теперь нам надо построить окружность, проходящую через точки А и С и касающуюся круга b с центром в В.
4) Строим синий пробный круг, проходящий через точки А и С.
5) Пересечение синего круга с кругом b даст прямую radAx, которая даст в пересечении с прямой АС точку Р - полюс всех таких радикальных осей.
6) Одной бурой дугой с центром в Р строим точку касания D’ для касательной из точки Р к кругу b.
7) На трёх точках ACD’ строим красный пунктирный круг. Сам круг строить не обязательно, а только его центр точку Е, которая и есть точка пересечения трёх искомых малиновых кругов. Строим эти круги через точку Е от центров А, В и С.
8) Optional. Через точку Т пересечения малинового круга с центром в В с прямой BD проводим красный перп, который есть общая касательная искомых малиновых кругов.

====================

Вообще, следующим этапом моего коварного плана, о котором, дай бог, вы все скоро узнаете, было развитие этой задачи от неуказанного направления касательной к указанному. Но спирт и хрипунов, проявив неожиданное рвение, опередили меня, и заранее решили (точнее, описали план действий) задачу с указанным направлением касательной.
« Последнее редактирование: 18 Июнь 2019, 01:23:31 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5496
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Но почему оно "должно быть дано"? Если дано, то дано, а если не дано, то значит это задача такая, предоставляющая свободу выбора направления, а не «очередная глупость автора задачи».
Вроде, никто автора глупым и не называл.  Просто, автор сначала написал " я задачу сам еще не решил", вот ему и указали, что при написанных условиях решений задачи  бесконечное множество .
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1462
    • Просмотр профиля
Но почему оно "должно быть дано"? Если дано, то дано, а если не дано, то значит это задача такая, предоставляющая свободу выбора направления, а не «очередная глупость автора задачи».
Вроде, никто автора глупым и не называл.  Просто, автор сначала написал " я задачу сам еще не решил", вот ему и указали, что при написанных условиях решений задачи  бесконечное множество .
Когда я писал "я задачу сам еще не решил", я имел ввиду только чисто техническую часть решения, т.е. я ещё на тот момент не нашёл конкретный способ построения искомых трёх кругов. А то, что при незаданном направлении касательной их будет бесконечно много вариантов, и только при заданном будет только один вариант, это мне было абсолютно ясно. И, в тоже время, было ясно, что если выбрать направление через две из трёх точек, то будет намного легче. Вот, у спирта это не получилось легче (по крайней мере, не сильно легче), вот я и выложил своё решение без инверсии для случая выбора направления через две из трёх точек.

Вообще, я эту задачу выложил ещё до того, как сам её решил, потому, что решение этой задачи на тот момент для меня не было самоцелью. Мне на тот момент просто нужно было быстрее убедиться, что она так или иначе решается, причём не слишком сложно. Поэтому я её быстрее выложил. А то сам бы я её ещё не известно, когда бы решил, а втроём быстрее получилось.

А почему я не сразу указал в условии, что направление касательной задано? Мне так нужно было для моих коварных планов. И я собирался добавить это к условию вскоре после решения задачи без указанного направления. Но меня опередили.

Спасибо за помощь.
« Последнее редактирование: 18 Июнь 2019, 15:47:41 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.