Автор Тема: Найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника, по высоте и плечам  (Прочитано 123 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1426
    • Просмотр профиля
Задача:

В треугольнике АВС высота |CD|=15 точкой D делит основание АВ на отрезки |AD|=2 и |DB|=13.
Поручение: найти радиус окружности, описанной вокруг треугольника АВС.


Спойлер
Заметьте, что сумма длин плеч равна высоте.
« Последнее редактирование: 07 Май 2019, 20:12:37 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Я так понимаю что Пифагор и формула площади через радиус описанной запрещены?:)  :unknown: Иначе уж очень тривиально.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1426
    • Просмотр профиля
Я так понимаю что Пифагор и формула площади через радиус описанной запрещены?:)  :unknown: Иначе уж очень тривиально.
Сам я нашел два решения - одно с Пифагором, а второе без него, но с квадратным уравнением. Всё, что сложнее (в смысле использование готовых формул) - нежелательно, а иначе есть много формул для радиуса лоб. Или прилагайте доказательство/вывод формул.
Решений этой задачи очень много.
Есть решение вообще и без Пифагора, и без квадратного уравнения, и без всяких готовых формул для радиуса описанной окружности, но с песчинкой аналитической геометрии. Вот его, в том числе и среди прочего, тоже найдите.
« Последнее редактирование: 07 Май 2019, 22:22:04 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Если я правильно помню то:

S=abc/(4R) => R=bc/(2h)=√(173*394)/30
В уме такие числа не перемножу.
« Последнее редактирование: 08 Май 2019, 11:44:54 от Race »

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1426
    • Просмотр профиля
Если я правильно помню то:

S=abc/(4R) => R=bc/(2h)=√(173*394)/30
В уме такие числа не перемножу.
Я старался сделать задачу внешне красивой и подбирал такие длины, чтобы основание было равно высоте и ответ получился ~10. У Вас там не получается ~10. Ошибка в числе 173, а должно быть 229 вместо 173.

Но ещё раз говорю, у этой задачи есть более интересные решения, чем просто взять готовую формулу.

В оригинальной задаче, идею с которой я взял, не было треугольника, и она была заточена под другие геометрические или аналитически-алгебраические штучки. Я, чтобы их спрятать и отвлечь от них внимание, переделал условие и представил всё в виде треугла АВС. Т.е. треугольник здесь - это дополнительное построение, а в оригинале его не было, а было другое. И это другое я не нарисовал.
   Но, к сожалению, получилось, что вид треугла сразу наталкивает на совершенно другой способ решения, коим Вы и воспользовались. И это, само по себе, очень здорово, ибо это демонстрирует, как можно взглянуть на условие по-другому и решить совсем неожиданным способом.

Короче, если Вам интересно, отойдите от треугольника (выкиньте его вообще) и увидьте то, что я скрыл, нарисовав треугольник. Не пожалеете.
   Таким образом, эта задача в моей редакции и её оригинальное условие будут прекрасным примером того, как можно решать совершенно неожиданным способом, если взглянуть на условие нестандартно и не в лоб.
« Последнее редактирование: 08 Май 2019, 17:37:40 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail

Я старался сделать задачу внешне красивой и подбирал такие длины, чтобы основание было равно высоте и ответ получился ~10. У Вас там не получается ~10. Ошибка в числе 173, а должно быть 229 вместо 173.
Да, в трамвае ехал и промахнулся.... (15^2+2^2)(15^2+13^2) надо было так поставить, у меня в первом множителе, почему то, 13 вместо 15...

По поводу другого решения буду думать. Только если это "уличная магия" (аналгеометримя) то я всю ее забыл.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1426
    • Просмотр профиля

Я старался сделать задачу внешне красивой и подбирал такие длины, чтобы основание было равно высоте и ответ получился ~10. У Вас там не получается ~10. Ошибка в числе 173, а должно быть 229 вместо 173.
Да, в трамвае ехал и промахнулся.... (15^2+2^2)(15^2+13^2) надо было так поставить, у меня в первом множителе, почему то, 13 вместо 15...

По поводу другого решения буду думать. Только если это "уличная магия" (аналгеометримя) то я всю ее забыл.

"Только если это "уличная магия" (аналгеометримя) то я всю ее забыл." - Аналит здесь - это лишь один конкретный способ, как можно решить эту задачу без геометрических формул и теорем типа Пифагора и т.п.. Дело не именно в аналите, он не обязателен.
   Просто подход к решению этой задачи может быть совсем другой, если треугольник (который тут есть лишь необязательное дополнительное построение) убрать и заменить на другое дополнительное построение.

Самый сухой остаток условия этой задачи - это что есть три отрезка длиной 2, 13 и 15, и надо найти радиус круга. А треугольник я уже сам дорисовал, что, кстати, и помогло Вам найти Ваш способ решения. Хотя этот треугольник я рисовал не чтобы помочь, а чтобы сбить с толку ).
« Последнее редактирование: 08 Май 2019, 19:47:36 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.