Автор Тема: Геометрия  (Прочитано 1962 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #30 : 07 Май 2019, 16:35:09 »
Задача №8

На плоскости задан произвольный выпуклый пятиугольник ABCDE, точки O, M и N середины сторон AC, CD и DE соответственно, точки K и L середины отрезков OM и ON, точка Z пересечение прямых CL и KE.
Доказать что |CZ|/|ZL|=|EZ|/|ZK|=4, |OZ|/|ZX|=3/2, |EX|/|XM|=2

соответственно используя данный метод средних точек:
3хугольник можно побить отрезок на 1/1, 1/2
4рехугольник - 1/1, 1/2, 1/3
5 - 1/1, 1/2, 1/3, 2/3, 1/4
.....



Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #31 : 14 Май 2019, 14:13:25 »
Задача № 9.
Докажите что точка пересечения биссектрис делит биссектрису в соотношении AM/MA1=(b+c)/a
Где М - точка пересечения биссектрис, А1 основание биссектрисы, b, c - боковые стороны, а - основание треугольника.

Задача № 10.
Докажите что если  к сторонам треугольника АВС, через точки касания вневписанных окружностей построить перпендикулярные прямые Ф1, Ф2 и Ф3 то они пересекутся в некоторой точке М.
« Последнее редактирование: 14 Май 2019, 14:20:29 от Race »

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #32 : 14 Май 2019, 14:22:18 »
Задача № 11.

Дана величина отрезка АВ.
Требуется найти геометрическое место точек М на плоскости удовлетворяющее условию AM/MB=X, где Х - const.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #33 : 15 Май 2019, 08:28:45 »
Задача № 11.

Дана величина отрезка АВ.
Требуется найти геометрическое место точек М на плоскости удовлетворяющее условию AM/MB=X, где Х - const.
Задача 11 - это частный и упрощённый случай задачи, в которой на конце отрезка не точки А и В, а окружности разного радиуса с центрами в А и В, и где требовалось бы найти ГМТ, находящихся на расстояниях |ОкрAM|/|MОкрB|=X, где ОкрA и ОкрВ, соотв., это ближайшая к точке М точка на окружности с центром в А или В.

===========================================

Соотношение AM/MB=X можно задать, например, двумя способами:
I) Поместить точку М на отрезке АВ между точками А и В.
II) Поместить точку М снаружи отрезка АВ на прямой, на которой лежит отрезок АВ.
Эти два метода являются как бы инверсией др. др.. В обоих случаях I и II можно решать одинаково.

Самый сложный и неочевидный (для меня, по крайней мере) момент здесь, это что ГМТ есть окружность. Если это заранее знать, то решение не сложное.

Вот решения для случая I.


Метод первый - аналитический.

Пусть задан отрезок АВ и точка М на нём задаёт соотношение AM/MB=X. Ясно, что сама точка М принадлежит ГМТ. Тогда, чтобы построить окружность ГМТ, надо найти вторую точку этой окружности. Легче всего это сделать для точки, лежащей на прямой отрезка АВ. Допустим, это есть точка С (см. рис. 1).

1) Для точки С составляем систему уравнений:
|CA|/|CB| = |MA|/|MB|; |CB| = |CA| + |AB|

Решение этой системы даст
|CA| = |MA|∙|AB|/|EB|, где |EB| = |MB| - |MA|.

2) |СА| найдём геометрически стандартным способом подобия треуглов (пунктирные параллели). Здесь на рисунке |СА| = |E'M'|.

3) Зная две крайние точки искомой окружности (точки М и С), строим её центр - середину отрезка МС и саму окружность ГМТ (красная жирная).


Метод второй a) - геометрический.

1) Строим круг с центром в точке М радиусом |MA|. Строим касательные к нему из точки В. Отмечаем точку касания Т.

2) Строим окружность, вписанную в угол между касательными и проходящую через точку М. Это и будет искомое ГМТ.

Один из простых методов построения такой вписанной окружности показан на рисунке 2. Он использует гомотетию от уже построенного чёрного круга с центром в точке М.
Строим прямую из точки Е в точку касания Т и строим параллель ей через точку М. Пересечение этой параллели с касательной даст точку Т'. Строим из T' перп к касательной и его пересечением с прямой АВ находим центр С искомой окружности Locus.


Метод второй b) - геометрический.

См. рис. 3. По сути - это тоже самое, что и второй a) метод, только вписанная в угол окружность строится не методом гомотетии, а по-другому. Здесь используется тот факт, что искомая окружность не просто "гомотетична" уже нарисованной чёрной с центром в точке М, а ещё и проходит через эту точку М, что немного упрощает построение.


Метод второй c) - геометрический.

Ещё один из простых методов построения такой вписанной окружности показан на рисунке 4. Это метод через биссектрису между перпом и стороной угла, которого окружность должна касаться.
« Последнее редактирование: 15 Май 2019, 10:51:48 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #34 : 15 Май 2019, 10:54:18 »
Данная окружность называется окружностью Аполлония) она замечательна тем, что если из любой точки окружности построить прямую ММ', где М' - принадлежит АВ, и расположена между А и В, то ММ' всегда будет биссектрисой угла АМВ, это издревле использовалось в астрономии и навигации....


Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #35 : 15 Май 2019, 11:11:14 »
Данная окружность называется окружностью Аполлония) она замечательна тем, что если из любой точки окружности построить прямую ММ', где М' - принадлежит АВ, и расположена между А и В, то ММ' всегда будет биссектрисой угла АМВ, это издревле использовалось в астрономии и навигации....
Я про окружность Апполония вспомнил ещё до того, как начал рисовать, но мне казалось, что круг Аполлония относится к биссектрисе, проходящей через точку на отрезке, а не к этой задаче. Поэтому я решил решать заново. Тем более, я не думал, что Вы зададите задачу про круг Аполлония, который мы тут перетерзали год назад. Кроме того, я забыл свойство биссектрисы делить противоп. сторону на отрезки, пропорц. боковым сторонам треугла. А щас вспомнил.

Вообще, память и способность мыслить ухудшаются с катастрофической скоростью. Я подумываю завязывать решать задачи, раз всё равно не помогает против прогрессирующего маразма, а только фрустрации вызывает.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #36 : 15 Май 2019, 11:37:06 »
Мозг тоже мышца. Если не будете его напрягать - он увеличит скорость собственной деградации.
Так что велком, решать задачи)

Я бы посоветовал Вам почитать увлекательную книжку http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27/_%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27.html#061, если верить авторам, то данный метод использовали практически все великие математики, в том числе Мебиус, Эйлер и тд и тп) Сейчас его не преподают в школе.
С точки зрения ПГ, он дает отличное представление о отношении величин отрезков в треугольнике, четырехугольнике, четырехстороннике. Так как я уже забыл векторное счисление, то в части книги не смог разобраться.
Но все равно получить новую, интересную информацию о геометрии смог, да и мозг немного размял.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #37 : 15 Май 2019, 12:09:07 »
Мозг тоже мышца. Если не будете его напрягать - он увеличит скорость собственной деградации.
Так что велком, решать задачи)

Я бы посоветовал Вам почитать увлекательную книжку http://publ.lib.ru/ARCHIVES/B/%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27/_%27%27Bibliotechka_%27%27Kvant%27%27.html#061, если верить авторам, то данный метод использовали практически все великие математики, в том числе Мебиус, Эйлер и тд и тп) Сейчас его не преподают в школе.
С точки зрения ПГ, он дает отличное представление о отношении величин отрезков в треугольнике, четырехугольнике, четырехстороннике. Так как я уже забыл векторное счисление, то в части книги не смог разобраться.
Но все равно получить новую, интересную информацию о геометрии смог, да и мозг немного размял.
Спасибо, но дело не только в том, что я старею и деградирую. Очень много серьёзных проблем давлеет над моим сознанием, что не позволяет мне полностью сосредоточится и увлечься решением задач. Я лезу решать задачи, скорее, чтобы отвлечься от проблем, а не чтобы получить удовольствие от решения. И, хотя я искренне хочу решить ту или иную задачу, мысли у меня всё равно всё время о другом. Поэтому получается просто маета и замкнутый круг: проблемы - фрустрации - желание отвлечься - решение задач - отвлекаюсь - задачи не решаются - фрустрации - круг замкнулся. Круг Аполлония, короче, замкнулся.
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #38 : 15 Май 2019, 12:59:12 »
Понятно....
Я немного увлекся альтернативной историей и наукой, стараюсь делать выводы) к примеру уже более 7 месяцев не употребляю спиртное и сахар, пошёл в зал) жаль не могу проверить даёт ли это положительный эффект на интеллектуальные способности)

Нерешаемые проблемы тоже имеются, но так как я не могу Их разрешить, приходится абстрагироваться.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #39 : 15 Май 2019, 14:29:17 »
Понятно....
Я немного увлекся альтернативной историей и наукой, стараюсь делать выводы) к примеру уже более 7 месяцев не употребляю спиртное и сахар, пошёл в зал) жаль не могу проверить даёт ли это положительный эффект на интеллектуальные способности)

Нерешаемые проблемы тоже имеются, но так как я не могу Их разрешить, приходится абстрагироваться.
Алкоголь я пожизненно не пью. Точнее, я его охотно пью только когда на халяву (что бывает пару раза в год) и на Новый год, и то только вина да пиво. Особенно шампик я люблю, потому что он как лимонад. Крепкие спиртные напитки (крепче 12%) я физиологически не терплю. И пьяным я быть не люблю и даже боюсь. Но сахар (в смысле, сладкое типа мороженное и в чай) я потребляю много и буду потреблять, ибо сладкое мне нервы лечит. Также я слышал, что сахар нужен мозгу для думания, но я не для этого его потребляю, а для поднятия настроения.

А чем заняться у меня, на самом деле, всегда есть (хотя я этого не делаю) - это учить Инглиш. Это мне и жизненно необходимо, и интересно (не само изучение, а результат, т.е. владение им), и престижно. :offtopic:
« Последнее редактирование: 15 Май 2019, 15:09:54 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #40 : 15 Май 2019, 15:12:35 »
Алкоголь я пожизненно не пью. Точнее, я его охотно пью только когда на халяву (что бывает пару раза в год) и на Новый год, и то только вина да пиво. Особенно шампик я люблю, потому что он как лимонад. Крепкие спиртные напитки (крепче 12%) я физиологически не терплю. И пьяным я быть не люблю и даже боюсь. Но сахар (в смысле, сладкое типа мороженное и в чай) я потребляю много и буду потреблять, ибо сладкое мне нервы лечит. Также я слышал, что сахар нужен мозгу для думания, но я не для этого его потребляю, а для поднятия настроения.

А чем заняться у меня, на самом деле, всегда есть (хотя я этого не делаю) - это учить Инглиш. Это мне и жизненно необходимо, и интересно (не само изучение, а результат, т.е. владение им), и престижно. :offtopic:
Насколько я понимаю Вы проживаете за пределами нашей бывшей и необъятной родины....
Эх....

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #41 : 15 Май 2019, 15:23:22 »
На самом деле, это даже очень хорошо, что я не стал использовать свои старые наработки по кругу Аполлония для решения 11-й задачи, а стал решать её с нуля. Если бы стал использовать круг Аполлония, то я построил бы его по известной мне формуле для его радиуса r=ab/(a-b), где a и b - плечи отрезка, и дело с концом. А так я придумал для себя аж три новых способа построения круга Аполлония (рисунки 2, 3 и 4), которые, при использовании Геогебры, намного быстрее позволяют его построить, чем методом использования формулы r=ab/(a-b), с которой я вечно путаюсь.

Но я, возможно, когда-нибудь попробую решить эту задачу с кругами разного радиуса вместо точек А и В.
« Последнее редактирование: 15 Май 2019, 16:29:55 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #42 : 15 Май 2019, 16:32:59 »
После выкалывания задача сводится к точке и окружности. Но, как мне кажется, в данном случае мы получим кривую второго порядка, с которой мы не умеем работать.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Re: Геометрия
« Ответ #43 : 15 Май 2019, 17:16:02 »
После выкалывания задача сводится к точке и окружности. Но, как мне кажется, в данном случае мы получим кривую второго порядка, с которой мы не умеем работать.
Возможно, там эллипс будет. Но эллипс - это не так уж и страшно. Я о нём читал в местных газетах.
Но, может быть, всё-таки, и просто круг. Это интересный вопрос.
Это можно поприкидывать на каких-нибудь конкретных примерах, например, Х = 1, 0, ∞.
« Последнее редактирование: 15 Май 2019, 17:33:06 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1572
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #44 : 15 Май 2019, 19:20:05 »
Получается конкретный элипс такой)))
Красивенький)  :laugh: