Автор Тема: Геометрия  (Прочитано 605 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Геометрия
« : 02 Май 2019, 15:34:00 »
В данном разделе будут находиться обычные геометрические задачи, но будут приветствоваться, в первую очередь, необычные решения.

Задача №1.
Докажите что медианы треугольника пересекаются в одной точке М, а так же то что . М делит медианы в соотношении 2:1, если считать от вершины.

Задача №2.
На стороне АС треугольника АВС взята такая точка М, что |AM|=|AC|/3, а на продолжении стороны СВ - такая точка N, что |BN|=|CB|. Прямая MN пересекает АВ в точке Р. В каком отношении делит эта точка сторону АВ и отрезок MN?

Задача №3.
В треугольнике АВС точка F делит основание в отношение 3:1, считая от вершины В, точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая от вершины А и от вершины С соответствено. В каком отношении делится каждый из отрезков МР и AF точкой их пересечения.




Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #1 : 03 Май 2019, 13:49:15 »
Пусть будет №4, такие задачи дают на неких курсах Сириуса) Сама задача достаточно тривиальна, но вот условие требует некоторой смекалки)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #2 : 04 Май 2019, 01:32:43 »
Пусть будет №4, такие задачи дают на неких курсах Сириуса) Сама задача достаточно тривиальна, но вот условие требует некоторой смекалки)
Нужно смекнуть, для чего дан угол  BAD?
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #3 : 04 Май 2019, 06:43:14 »
Пусть будет №4, такие задачи дают на неких курсах Сириуса) Сама задача достаточно тривиальна, но вот условие требует некоторой смекалки)
Нужно смекнуть, для чего дан угол  BAD?
Проблемы возникают на этапе построения. Некоторым кажется. Что условие с ошибкой, а по факту это не так)

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #4 : 04 Май 2019, 10:47:57 »
Пусть будет №4, такие задачи дают на неких курсах Сириуса) Сама задача достаточно тривиальна, но вот условие требует некоторой смекалки)
Нужно смекнуть, для чего дан угол  BAD?
Проблемы возникают на этапе построения. Некоторым кажется. Что условие с ошибкой, а по факту это не так)
Я бы строил в такой последовательности, как на рисунке.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #5 : 04 Май 2019, 11:03:04 »
Для решения задачи нет необходимости строить точное построение) Я, к примеру, не обратил внимание на название лучей и не смог построить выпуклый АВСД) Зато решил задачу для самопересекающегося, Вы же, своим решением (мне не понятным) сразу натолкнулись на одно из решений данной задачи)  :heart:

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #6 : 04 Май 2019, 23:14:37 »
Для решения задачи нет необходимости строить точное построение) Я, к примеру, не обратил внимание на название лучей и не смог построить выпуклый АВСД) Зато решил задачу для самопересекающегося, Вы же, своим решением (мне не понятным) сразу натолкнулись на одно из решений данной задачи)  :heart:
Тут весь чертеж   получается автоматически.
По условию
АВС+РВС =180 гр.
АВС+ADC = 180 гр.
QDС+ADC= 180 гр.
Откуда QDС + РВС = 180гр. При этом углы QDС= РВС  как опирающиеся на одну хорду; значит QDС= РВС =90 гр., а PBDQ - полуокружность.
В принципе, этому доказательству , по моему,  и посвящена задача. Ну, а найти требуемый угол уже - сущий пустяк.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #7 : 04 Май 2019, 23:58:18 »
hripunov,
мне как неучу пришлось в лоб решать) решается кстати без дополнительных построений) правда пришлось составить систему линейных уравнений по длинам дуг)
x-y=2*60
x+y=2*120
x=y+120
2y=120
дуга DB=y=60 => /_DQB=/_DPB=y/2=30 =>/_PQA=/_BQA+/_PQB=48.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #8 : 06 Май 2019, 14:23:52 »
В №2 и №3  ничего оригинальнее старого доброго Менелая  не приходит в голову.  В третьей ответ
« Последнее редактирование: 06 Май 2019, 15:19:57 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #9 : 06 Май 2019, 15:28:05 »
Если верить историкам, то Архимед мог бы решить таким способом:

№2. P=(2A+2B)/4 => Р є AB, AP/PB=1
        P=(3M+1N)/4 =>  Р є MN, NP/PM=3

 :P правда форму записи, как мне кажется, придумали в 19-20 веке...

№1 вообще в 1 строчку)

Пусть А1, В1 и С1 основания медиан, а М точка их пересечения тогда
M=(1A+2A1)/3 => M є AA1, AM/MA1 =2
M=(1B+2B1)/3 => M є BB1, BM/MB1 =2
M=(1C+2C1)/3 => M є CC1, CM/MC1 =2

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #10 : 06 Май 2019, 15:51:48 »
№ 3
Вот тут, Вы ошиблись) потому прячу "решение" под спойлер:

3С*1=xA*5 =>x=0.6
1B*5=yA1*1 => y=5
Пусть Х т. пересечения AF с PM, тогда:
9.6X=(0.6A+5A1)+4F => X є AF, AX/XF=4/(0.6+5)=5/7
9.6X=(3C+0.6A)+(5A1+1B)=3.6P+6M => X є PM, PX/XM=6/3.6=5/3.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #11 : 06 Май 2019, 16:09:00 »
№ 3
Вот тут, Вы ошиблись) потому прячу "решение" под спойлер:

3С*1=xA*5 =>x=0.6
1B*5=yA1*1 => y=5
Пусть Х т. пересечения AF с PM, тогда:
9.6X=(0.6A+5A1)+4F => X є AF, AX/XF=4/(0.6+5)=5/7
9.6X=(3C+0.6A)+(5A1+1B)=3.6P+6M => X є PM, PX/XM=6/3.6=5/3.
Невнимательно воспринял условие: решил для  конфигурации BF = ВC/3:
« Последнее редактирование: 06 Май 2019, 16:11:06 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #12 : 06 Май 2019, 16:57:47 »
Объем усилий на решение сравним с тем что я изложил?:)  :heart:

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1438
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #13 : 06 Май 2019, 17:14:40 »
Построим прямые BX и СХ, которые пересекут АС и АВ в точках В1 и С1 соответственно, найдем BX/XB1 и СХ/ХС1
9,6Х=(3С+(9.6-3)C1)=(3C+6,6С1) => X є CC1, CX/XC1=6.6/3=11/5
9,6X=(1B+(9.6-1)B1)=(1B+8.6B1) => X є BB1,  BX/BX1=8.6/1=43/5
« Последнее редактирование: 06 Май 2019, 17:17:35 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5436
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Геометрия
« Ответ #14 : 06 Май 2019, 17:24:55 »
Объем усилий на решение сравним с тем что я изложил?:)  :heart:
Объем усилий на решение с помощью Менелая превосходит усилия на решение, изложенное Вами . Для № 2  Менелай помогает решить задачу напрямую, в две строки, а вот для №3 приходится прибегать к выкрутасам.
Приведу решение для №3 в той трактовке условия , в которой я его ошибочно понял:
Условие:
В треугольнике АВС точка F отсекает 1/3 от стороны ВС, считая от вершины В, точки М и Р отсекают от боковых сторон АВ и АС по одной шестой, считая от вершины А и от вершины С соответствено. В каком отношении делится каждый из отрезков МР и AF точкой их пересечения.
Решение:
О - точка пересечения МР и АF
Берем на АВ точку B' так, что АВ' = 5 B'B, PB'  пересекает АF в точке   F'
По теореме Менелая (PO/OM) * (AM/AB') * (B'F'/F'P) = 1, откуда  PO/OM = 10/1;
По теореме Менелая  (AO/OF')* (PF'/PB')* (B'M/AM) = 1, откуда  AO/OF' =3/8
OF'/AO = 8 / 3   ; прибавляем к числителю  11/5, получаем соотношение OF/AO  = 17/5
Ответ: 10/1 и 17/5
« Последнее редактирование: 06 Май 2019, 17:26:41 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...