Автор Тема: Окружность и треугольник  (Прочитано 402 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Окружность и треугольник
« : 23 Апрель 2019, 14:38:49 »
Дана окружность, внутри которой начерчен треугольник. Построить треугольник, вписанный в данную окружность, и описанный вокруг  данного треугольника . Пусть треугольник начерчен такой, что решение возможно.
« Последнее редактирование: 23 Апрель 2019, 19:20:25 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн c2h5oh

  • Постоялец
  • ***
  • Сообщений: 136
    • Просмотр профиля
Re: Окружность и треугольник
« Ответ #1 : 25 Май 2019, 02:59:39 »
Возьмём две любые вершины треугольника. Пусть некоторая точка движется по окружности. Для каждого положения этой точки проведём отрезок, концы которого лежат на окружности и на лучах проведенных из движущейся точки через выбранные вершины. Предположим (без доказательства, пока), что эти отрезки являются касательными для некоторого эллипса. Тогда все параметры этого эллипса можно рассчитать достаточно просто. Если окажется что третья вершина лежит не внутри эллипса то из неё проводим две касательные (на рисунке одна). Точки пересечения касательных с окружностью дают две вершины искомого треугольника. При условии что это действительно эллипс всё можно построить циркулем и линейкой.


Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5418
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Re: Окружность и треугольник
« Ответ #2 : 25 Май 2019, 18:08:36 »
c2h5oh, да это будет эллипс!
Есть в проективной геометрии такая теорема.  Звучит примерно так: Если имеет место  нецентральное  проективное отображение коники на саму себя, то прямые, соединяющие  точки коники и их cпроецированные образы, образуют линейную оболочку (облако касательных) некоторой коники.
А в нашем случае ( который Вы описали) как раз имеет место отображение коники (окружности) на саму себя. То есть, тут  мы проецируем любую произвольную точку окружности на эту же окружность, линии проецирования проходят последовательно  через две точки (две вершины одной стороны треугольника) - и получаем ее образ на этой же окружности. Значит, все прямые, соединяющие любые точки на окружности с их спроецированными образами,  касаются некоторого конического сечения. Так как   это коническое сечение расположено внутри окружности, это может быть только эллипс.

Получается, задачу Вы решили.    :thumbs up:  :bravo:
Правда, для меня проведение касательной к эллипсу, который не задан кривой, а задан несколькими точками, или несколькими касательными  - это тоже отдельная , довольно муторная задача. Но сделать это циркулем и линейкой, безусловно,  можно.   Это задача из области , которой принадлежит недавно обсуждавшаяся здесь задача : по пяти произвольным точкам , лежащим на не нарисованной параболе,  определить ось, фокус и вершину параболы. Все это сделать возможно, только долго,  и непонятно стороннему наблюдателю.

Для данной же задачи про круг и треугольник я  подразумевал  другой способ, тоже из области проективной геометрии.
« Последнее редактирование: 26 Май 2019, 00:06:32 от hripunov »
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...