Автор Тема: Построить треугольник по основанию, углу напротив него и разности боковых сторон  (Прочитано 440 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Наподобие задачи, помещённой здесь е371 ( www.smekalka.pp.ru/forum/index.php/topic,9858.0.html ), можно придумать ещё много задач.
   Как известно, для задания треугла достаточно задать какие-либо три его параметра, например, три его стороны, две стороны и угол между ними, одну сторону и два угла и т.п.. Когда все три параметра заданы именно напрямую, строить легко. Но когда заданы соотношения между ними, строить намного сложнее - приходится решать целую задачу.

Вот, предлагаю такую комбинацию заданных параметров:

Задача: Построить треугольник по его основанию, углу напротив этого основания и разности между длинами боковых сторон при этом основании.


П.С. В отличие от задачи е371, которая у меня легко решилась аналитически, но вызвала ступор при поиске геометрического решения, эта задача у меня не вызвала серьёзных затруднений в геометрическом решении и решилась довольно быстро. Причём я могу его строго и при этом чисто геометрически обосновать. Так что, думаю, и остальные геострадальцы её решат.
« Последнее редактирование: 15 Апрель 2019, 18:39:15 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5513
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Вот такой способ есть:
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Я решал задачу в лоб. Потому, естественно, моим первым решением было использование т-мы Р-С.

Задано основание, противолежащий угол alpha  и разница боковых сторон.
Построение:
1. На основании a строим произвольный треугольник с противолежащим углом равным заданному.
2. Описываем окружность вокруг этого треугольника.
3. Строим окружность радиуса b-c с центром в одном из краев a.
4. Теперь нам остается построить равнобедренный треугольник, с углом alpha  при вершине, что бы один край его основания совпадал с свободным концом а, а второй принадлежал окружности с радиусом  b-c, а это мы уже умеем делать. Естественно свободные концы равнобедренного будут двигаться по некоторой окружности, которую мы и строим по 3 точкам.

Как показало построение, то можно и схитрить, упрощенный вариант построения на втором рисунке.

« Последнее редактирование: 16 Апрель 2019, 17:33:13 от Race »

Оффлайн hripunov

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 5513
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Я решал задачу в лоб. Потому, естественно, моим первым решением было использование т-мы Р-С.

Задано основание, противолежащий угол alpha  и разница боковых сторон.
Построение:
1. На основании a строим произвольный треугольник с противолежащим углом равным заданному.
2. Описываем окружность вокруг этого треугольника.
3. Строим окружность радиуса b-c с центром в одном из краев a.
4. Теперь нам остается построить равнобедренный треугольник, с углом alpha  при вершине, что бы один край его основания совпадал с свободным концом а, а второй принадлежал окружности с радиусом  b-c, а это мы уже умеем делать. Естественно свободные концы равнобедренного будут двигаться по некоторой окружности, которую мы и строим по 3 точкам.

Как показало построение, то можно и схитрить, упрощенный вариант построения на втором рисунке.
Ваше второе решение аналогично тому, по которому решал я. Центр окружности, на которой  лежат концы всех "двигаемых подобных равнобедренных треугольников" лежит на точке пересечения описанной окружности и срединного перпендикуляра к стороне а. Это касается и верхней окружности ( в моем варианте голубой) и нижней окружности ( в вашем варианте красной). Мой вариант - для случая, когда разность между сторонами очень мала, и точность построения циркулем и линейкой  можно обеспечить, используя верхнюю окружность.
Сеня! По-быстрому объясни товарищу, почему Володька сбрил усы!...

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail

Ваше второе решение аналогично тому, по которому решал я. Центр окружности, на которой  лежат концы всех "двигаемых подобных равнобедренных треугольников" лежит на точке пересечения описанной окружности и срединного перпендикуляра к стороне а. Это касается и верхней окружности ( в моем варианте голубой) и нижней окружности ( в вашем варианте красной). Мой вариант - для случая, когда разность между сторонами очень мала, и точность построения циркулем и линейкой  можно обеспечить, используя верхнюю окружность.
Я не разобрался в Вашем решение, к собственному стыду) Просто использовал метод полученный при решении Вашей задачи о вписании квадрата в угол.

Оффлайн Ygrek

  • Эксперт
  • ******
  • Сообщений: 1500
    • Просмотр профиля
Я не разобрался в Вашем решение, к собственному стыду) Просто использовал метод полученный при решении Вашей задачи о вписании квадрата в угол.
А что тут стыдиться? Разве кто-то обязан уметь разбираться в чужих радужных японских иероглифах? Для автора решения это заняло бы пять минут пояснить основные шаги и идею решения. А другим это может занять уйму времени разобраться. Если вообще получится разобраться.

▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐▐

Вот моё "авторское" решение.
   Пояснять не буду, ибо оно по сути тоже, что и у Раце. Вот, только обращаю внимание, что решение - два треугольника, но они оказались тупо симметричные, так что это тоже не особо важно.
   Также прилагаю рисунок (№ 3), с помощью которого я доказываю, что траектория точки Т - это именно окружность, а также местонахождение её центра. Писать слова не буду, ибо для Раце это "Естественно". Хотя математику ничего не должно быть естественно. Ну, то математику. А "нам" и так сойдёт.

« Последнее редактирование: 17 Апрель 2019, 03:03:21 от Ygrek »
Пифагор сказал: "Ничему не удивляйся". Чё-то не получается.

Оффлайн Race

  • Глобальный модератор
  • Эксперт
  • *****
  • Сообщений: 1551
    • Просмотр профиля
    • E-mail
Ну так это мы наглядно показали еще в 2016 году)))) Тогда еще СтранникПитер Вас бесил, если помните.
При помощи этого метода можно, к примеру, имея 2 окружности вписать квадрат, 2 вершины которого принадлежать окружностям и 1 закреплена в заданной точке.
Данная задача, без "двигательной" геометрии становится не томной.
А после анализа построить все действительно различные квадраты, а не конгруэнтные как у Вас)